Hoofdmenu openen

In de topologie, een onderdeel van de wiskunde, heet een verzameling in een topologische ruimte clopen wanneer die verzameling zowel open als gesloten is. Het woord clopen komt uit het Engels, waar het een samenstelling is van closed (gesloten) en open. Een Nederlandse variant van deze term is geslopen.

VoorbeeldenBewerken

In iedere topologische ruimte   zijn de lege verzameling en de gehele ruimte   beide clopen.

Beschouw nu de ruimte   die bestaat uit de vereniging van twee disjuncte intervallen van  , bijvoorbeeld [0,1] en [2,3]. De topologie op   wordt als deelruimtetopologie geërfd van de gewone topologie op de reële getallen  . In   is de verzameling [0,1], net zoals de verzameling [2,3], clopen. Dit is een typisch voorbeeld: steeds wanneer een ruimte op deze manier is opgebouwd uit een eindig aantal disjuncte samenhangende componenten, zullen deze componenten clopen zijn.

Een minder triviaal voorbeeld is de ruimte   van alle rationele getallen met hun gewone topologie, en de verzameling   van alle positieve rationale getallen waarvan het kwadraat groter is dan 2. Gebruikmakend van het feit dat de wortel uit 2 niet in   ligt, kan men vrij gemakkelijk aantonen dat   als deelverzameling van   clopen is. (Merk op dat   geen clopen deelverzameling van de reële getallenlijn   is:   is noch open noch gesloten in  .)

Enkele eigenschappenBewerken

  • Een topologische ruimte   is samenhangend dan en slechts dan als de enige clopen verzamelingen de lege verzameling en   zelf zijn.
  • Een verzameling is clopen dan en slechts dan als de rand leeg is.
  • Iedere clopen verzameling is een vereniging van (mogelijk oneindig veel) samenhangende componenten.
  • Als alle samenhangende componenten van   open zijn (bijvoorbeeld als   slechts een eindige hoeveelheid componenten heeft, of als   lokaal samenhangend is), dan is een verzameling clopen in   dan en slechts dan als het een vereniging van samenhangende componenten is.
  • Een topologische ruimte   is discreet dan en slechts dan als al haar deelverzamelingen clopen zijn.