Cirkel van Apollonius

Een cirkel van Apollonius is de meetkundige plaats van punten in het vlak bij gegeven punten en zodat en een vaste verhouding hebben, ofwel voor vaste

Een cirkel van Apollonius

Deze alternatieve beschrijving voor een cirkel is genoemd naar de Griekse astronoom en meetkundige Apollonius van Perga.

Cartesische coördinatenBewerken

Nemen we   in de oorsprong van een cartesisch assenstelsel en   in  , dan volgt dat

 ,

hetgeen te vereenvoudigen is tot

 ,

en vervolgens te herschrijven is tot

 ,
 

Het middelpunt van de cirkel heeft dus coördinaten   en de cirkel heeft straal  

EigenschappenBewerken

  • Voor   is de cirkel ontaard tot de middelloodlijn van  
  • Zijn   en   de snijpunten van de cirkel met de lijn   dan geldt voor ieder ander punt   van de cirkel dat   en   de bissectrices van driehoek   zijn.

In een driehoekBewerken

In een driehoek worden, vanwege de tweede genoemde eigenschap, de cirkels door een hoekpunt en door de snijpunten van de bissectrices door dat hoekpunt met de overstaande zijde de cirkels van Apollonius van die driehoek genoemd. Zij snijden elkaar in de isodynamische punten. De middelpunten van deze cirkels liggen op de trilineaire poollijn van het punt van Lemoine. Elk van deze cirkels staat loodrecht op de omgeschreven cirkel.