Uitwisselbare sigma-algebra

In de kansrekening is de uitwisselbare σ-algebra van een familie van stochastische variabelen een speciale σ-algebra waarvan de elementen invariant zijn onder bepaalde permutaties. Uitwisselbare σ-algebra's komen voor in het kader van uitwisselbare families van stochastische variabelen en bij de Nul-één-wet van Hewitt-Savage.

Definitie

bewerken

Laat   een stochastisch proces zijn, waarvan iedere   waarden in   heeft, en   de verzameling van n-symmetrische, meetbare functies  .

De door deze functies voortgebrachte σ-algebra is:

 

Dan is:

 

de σ-algebra van alle onder permutaties van de eerste   indices van het stochastische proces invariante gebeurtenissen.

De uitwisselbare σ-algebra is dan:

 

en daarmee de σ-algebra van alle onder eindige permutaties van de indices van het stochastische proces invariante gebeurtenissen.

Verband met de staart-σ-algebra

bewerken

De staart-σ-algebra is altijd deel van de uitwisselbare σ-algebra, aangezien met de voorstelling van de staart-σ-algebra

 

altijd geldt

 

en dus

 .

Er zijn voorbeelden waarin de uitwisselbare σ-algebra gebeurtenissen bevat die niet behoren tot de staart-σ-algebra. De uitwisselbare σ-algebra is dan strikt groter dan de staart-σ-algebra.

Omgekeerd kan worden aangetoond dat voor een uitwisselbare familie van stochastische variabelen   bij elke gebeurtenis   een staartgebeurtenis   bestaat, waarvoor voor het symmetrisch verschil geldt:   (de omgekeerde conclusie is vanwege   triviaal). Voor elke gebeurtenis in de uitwisselbare σ-algebra bestaat er dus een gebeurtenis in de staart-σ-algebra, zodat het symmetrisch verschil een nulverzameling is.

Daaruit laat zich direct de Nul-één-wet van Hewitt-Savage afleiden, namelijk dat de uitwisselbare σ-algebra van een rij onafhankelijke gelijkverdeelde stochastische variabelen een P-triviale σ-algebra is. Volgens de Nul-één wet van Kolmogorov is dan de staart-σ-algebra P-triviaal en op basis van het bovenstaande resultaat ook de uitwisselbare σ-algebra.

Literatuur

bewerken
  • Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie, 3e druk, p.237-247, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 2013, ISBN=978-3-642-36017-6