In de wiskunde zegt de stelling van Dini dat een monotoon stijgende rij van continue reëelwaardige functies op een compacte topologische ruimte die puntsgewijs convergeert, ook uniform convergent is. De stelling is genoemd naar de Italiaanse wiskundige Ulisse Dini.

StellingBewerken

Zij   een compacte topologische ruimte en   een monotoon stijgende rij, d.w.z. voor alle   en   is   van continue reëelwaardige functies op   Als de rij functies puntsgewijs convergeert naar een continue functie   is de rij ook uniform convergent.

Een analoge stelling geldt voor een monotoon dalende rij  

Dit is een van de weinige situaties in de wiskunde waarbij puntsgewijze convergentie uniforme convergentie impliceert. De sleutel hiertoe is het feit dat de rij monotoon is.

Merk ook op dat de limiet een continue functie moet zijn. Indien de limietfunctie niet continu is, kan het volgende tegenvoorbeeld gegeven worden:   op het interval [0,1]. Elke   zal dit interval op zichzelf afbeelden; puntsgewijze convergentie is gemakkelijk in te zien. De limietfunctie   is overal 0, behalve in 1, daar is ze 1. De limiet is dus niet continu en ook is de convergentie niet uniform, want

 

BewijsBewerken

Kies   en definieer voor elke   Zij verder  .

Duidelijk is dat elke   continu is en elke   open. Aangezien   monotoon stijgt, daalt   monotoon. Bovendien is   een stijgende rij van verzamelingen. Aangezien   puntsgewijs convergeert naar   is   een open overdekking van  . Door de compactheid van   bestaat er een   zodat   (eigenlijk zijn er eindig veel verzamelingen die   overdekken, maar deze zitten alle in een bepaalde  ). Dan geldt als   en  :

 

Hiermee is de stelling bewezen.