Stelling van Dini

In de wiskunde zegt de stelling van Dini dat een monotoon stijgende rij van continue reëelwaardige functies op een compacte topologische ruimte die puntsgewijs convergeert, ook uniform convergent is. De stelling is genoemd naar de Italiaanse wiskundige Ulisse Dini.

Stelling

Zij $X$ een compacte topologische ruimte en $(f_{n}:X\to \mathbb {R} )$ een monotoon stijgende rij, d.w.z. voor alle $n$ en $x$ is $f_{n}(x)\leq f_{n+1}(x),$ van continue reëelwaardige functies op $X.$ Als de rij functies puntsgewijs convergeert naar een continue functie $f,$ is de rij ook uniform convergent.

Een analoge stelling geldt voor een monotoon dalende rij $(f_{n}).$

Dit is een van de weinige situaties in de wiskunde waarbij puntsgewijze convergentie uniforme convergentie impliceert. De sleutel hiertoe is het feit dat de rij monotoon is.

Merk ook op dat de limiet een continue functie moet zijn. Indien de limietfunctie niet continu is, kan het volgende tegenvoorbeeld gegeven worden: $f_{n}(x)=x^{n}$ op het interval [0,1]. Elke $f_{n}$ zal dit interval op zichzelf afbeelden; puntsgewijze convergentie is gemakkelijk in te zien. De limietfunctie $f$ is overal 0, behalve in 1, daar is ze 1. De limiet is dus niet continu en ook is de convergentie niet uniform, want

$\sup _{x\in [0,1]}|f_{n}(x)-f(x)|=1$

Bewijs

Kies $\varepsilon >0$ en definieer voor elke $n$ het verschil met de limietfunctie als $g_{n}=f-f_{n}$. Zij verder $E_{n}=\{x\in X|g_{n}(x)<\varepsilon \}$.

Duidelijk is dat elke $g_{n}$ continu is en elke $E_{n}$ open. Aangezien de rij $(f_{n})$ monotoon stijgt, daalt $(g_{n})$ monotoon. Bovendien is $(E_{n})$ een stijgende rij van verzamelingen. Aangezien $f_{n}$ puntsgewijs convergeert naar $f,$ is $(E_{n})$ een open overdekking van $X$. Door de compactheid van $X$ bestaat er een $N$ zodat $E_{N}=X$ (eigenlijk zijn er eindig veel verzamelingen die $X$ overdekken, maar deze zitten alle in een bepaalde $E_{n}$). Dan geldt als $n>N$ en $x\in X$:

$|f(x)-f_{n}(x)|<\varepsilon$

Hiermee is de stelling bewezen.