|
In de [[functionaalanalyse]], een deelgebied van de [[wiskunde]], geeft de '''stelling van Arzelà-Ascoli''' [[noodzakelijke en voldoende voorwaarde]]n om te beslissen of een [[rijRij (wiskunde)|rij]] van [[reëelreëelwaardige getal|reëelfunctie]]-waardiges, die [[Continue functie (analyse)|continue functiescontinu]] vanzijn, op een [[gesloten verzamelingInterval (wiskunde)|interval]] dat [[Gesloten verzameling|gesloten]] en [[begrensdheid|begrensd]] is, een [[Interval (wiskunde)|intervaldeelrij]] eenheeft, die [[uniformeUniforme convergentie|uniform convergenteconvergent]] [[deelrij]] heeftis. De belangrijkste voorwaarde is de [[equicontinuïteit]] van de rij van functies. De stelling is een fundamenteel resultaat in de wiskunde. In het bijzonder vormt het de basis voor het [[Wiskundig bewijs (wiskunde)|bewijs]] van de [[existentiestelling van Peano]] in de theorie van de gewone [[differentiaalvergelijking]]en en de [[stelling van Montel]] in de [[complexe analysefunctietheorie]]. De [[stellingStelling (wiskunde)|stelling]] speelt ook een beslissende rol in het bewijs van de [[stelling van Peter-Weyl]].
Het begrip equicontinuïteit werd ongeveer rond dezelfde tijd geïntroduceerd door [[Giulio Ascoli]] (1883-1884) en [[Cesare Arzelà]] (1882-1883) geïntroduceerd. Een zwakke vorm van de stelling werd bewezen door Ascoli (1883-1884), die de voldoende voorwaarde voor [[compacte ruimte|compactheid]] vaststelde, en door Arzelà (1895), die de noodzakelijke voorwaarden voor de stelling vaststelde en die als eerste een duidelijke presentatie van het resultaat gaf. Een verderenog veralgemeningalgemenere van de stelling werd in 1906 bewezen door [[Maurice René Fréchet|Maurice Fréchet]] voor een ruimte, waarin de notie van een [[limiet]] zinvol is, zoals een metrische ruimte of een [[Hausdorff-ruimte]]. Moderne formuleringen van de stelling staan toe dat het [[domeinDomein (wiskunde)|domein]] en het [[bereikBereik (wiskunde)|bereik]] [[compacteCompacte ruimte|compacte]] [[metrische ruimte]]n zijn. De meest algemene formulering van de stelling geeft noodzakelijke en voldoende voorwaarden dat een familie van functies van een compacte Hausdorff-ruimte naar een [[uniforme ruimte]] compact is in de topologie van [[uniforme convergentie]] (.<ref>[[Nicolas Bourbaki|Bourbaki]] (1998) Loc §2.5).</ref>
== Definitie ==
Een rij <math>(f_n)_{n\in \N}</math> van [[Continue functie (analyse)|continue functies]] op een [[intervalInterval (wiskunde)|interval]] <math>[a,b]</math> is op uniforme wijze [[begrensdheid|begrensd]] als er een [[getal (wiskunde)|getal]] <math>M</math> bestaat zodanig, dat
:<math>|f_n(x)| \le M</math>
voor elke [[functieFunctie (wiskunde)|functie]] <math>f_n</math> uit de rij, en alle <math>x\in [a,b]</math>.
De rij is ''equicontinu'', indien voor elke <math>\varepsilon > 0</math> er een <math>\delta > 0</math> bestaat zodanig dat
:<math>|f_n(x)-f_n(y)| < \varepsilon</math>, als <math>|x-y|<\delta</math>
voor elke <math>f_n</math> die tot de rij behoort. Beknopt geformuleerd is een rij dan en slechts dan equicontinu, als alle elementen 'dezelfde'dezelfde ''[[modulus van continuïteit]] hebben.
In de eenvoudigste termen kan de stelling als volgt worden geformuleerd:
Beschouw een [[rij (wiskunde)|rij]] van reëelwaardige continue functies <math>(f_n)_{n\in \N}</math> die gedefinieerd zijnop een gesloten en begrensd [[Interval (wiskunde)|interval]] <math>[a,b]</math> van de [[reële lijn]]. Als deze rij [[begrensdheid|uniform begrensd]] en equicontinu is, bestaat er een [[deelrij]] <math>(f_{n_k})</math> die [[uniforme convergentie|uniform]] [[convergentie (wiskunde)|convergeert]].
{{Appendix|Voetnoten}}
== Referenties ==
*{{en}} [http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&id=2961 stelling van Ascoli–Arzelà] op [[PlanetMath]]
[[Categorie:Functionaalanalyse]]
| 