Wikipedia

Homothetie (meetkunde): verschil tussen versies

Interactief door geschiedenis bladeren
← Oudere bewerkingNieuwere bewerking →
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
VisueelWikitekst
Madyno (overleg | bijdragen)
34.753 bewerkingen
Geen bewerkingssamenvatting
Regel 1:
[[Bestand:Figuur1 homothetie.png|thumb|Definitie van een homothetie; gelijkvormige vierhoeken op basis van die homothetie|280px]]
 
EenIn de [[euclidische meetkunde]] is een '''vermenigvuldiginghomothetie''' of '''homothetievermenigvuldiging''' is in de [[euclidische meetkunde]] een [[Afbeelding (wiskunde)|afbeelding]] die elke rechte lijn afbeeldt op een daarmee [[Evenwijdig|evenwijdige]] rechte lijn. Daarbij wordtvanuit een vast punt <math>P</math> gekozen −, het ''centrum'' van de vermenigvuldiging, −alle datafstanden wordtin verbondeneen metvaste eenverhouding willekeurigverandert. puntEen <math>M</math>homohtetie vanbeeldt eenelke rechte lijn. Isaf danop <math>M'</math>een hetdaarmee snijpunt[[Evenwijdig|evenwijdige]] van <math>PM</math> met het beeld van dierechte lijn, danen iselke defiguur verhoudingop <math>PM'een :daarmee PM</math>gelijkstandige voor alle punten <math>M</math>[[Gelijkvormigheid|gelijkvormige]] hetzelfdefiguur.
 
== Formele definitie ==
Een vermenigvuldiging ten opzichte van een (reëel) punt <math>P</math> met factor[[Schaal (verhouding)|schaalfactor]] <math>t\lambda \ne 0</math> beeldt elk punt <math>M</math> af op een punt <math>M'</math> dat voldoet aan de volgende voorwaarden:
* <math>M'</math> ligt op de lijn <math>MP,</math>
* <math>\frac{PM'}{PM}=t\lambda\cdot PM</math>, waarbij het teken van <math>t\lambda</math> aangeeft of <math>M</math> en <math>M'</math> aan dezelfde kant van <math>P</math> (<math>t\lambda > 0</math> positief) of aan weerszijden van <math>P</math> (<math>t\lambda < 0</math> negatief) liggen,
* als <math>M</math> met <math>P</math> samenvalt, valt <math>M'</math> met <math>M</math> samen (<math>P</math> wordt dus op zichzelf afgebeeld).
<!--
 
Opmerking. Als het punt <math>P</math> op de [[oneindig verre rechte]] wordt gekozen, dan wordt de afbeelding [[translatie (meetkunde)|translatie]] genoemd. In dit geval is elk tweetal lijnen <math>MM'</math> evenwijdig en zijn alle lijnstukken <math>MM'</math> aan elkaar gelijk.-->
 
== Enkele eigenschappen ==
[[Bestand:Figuur2 homothetie.png|thumb|Gelijkvormigheidscentra ''P''<submath>1P_1</submath> en ''P''<submath>2P_2</submath> bij twee cirkels|280px]]
* Een homothetie beeldt ''elke'' figuur af op een daaraan [[gelijkvormigheid (meetkunde)|gelijkvormige]] figuur.
* Een homothetie beeldt een [[veelhoek]] af op een veelhoek waarvan de zijden [[evenwijdig]] zijn met die van het origineel.
* Zijn van twee gelijkvormige veelhoeken de zijden evenwijdig, dan is er een homothetie die de ene veelhoek op de andere afbeeldt. Het punt <math>P</math> wordt dan het ''gelijkvormigheidscentrum'' van beide figuren genoemd. Voor twee gelijkvormige [[Rotatiesymmetrie|puntsymmetrisch]]e veelhoeken met evenwijdige zijden of voor twee [[cirkel]]s bestaan in bepaalde gevallen twee homothetieën; en dan bestaan er dus ook twee gelijkvormigheidscentra.
* Een homothetie met factor <math>t\lambda</math> beeldt een veelhoek met oppervlakte <math>S</math> af op een veelhoek met oppervlakte <math>t\lamba^2S.2 S</math>
 
== Zie ook ==
Overgenomen van "https://nl.wikipedia.org/wiki/Homothetie_(meetkunde)"