Versie van 25 jan 2020 16:35 bewerken Daaf Spijker (overleg \| bijdragen) 6.381 bewerkingen k →‎Voorbeeld: lay-out hersteld ← Oudere bewerking		Versie van 25 jan 2020 18:56 bewerken ongedaan maken Madyno (overleg \| bijdragen) 34.753 bewerkingen Geen bewerkingssamenvatting Nieuwere bewerking →
Regel 1: [[Bestand:Polynomialdeg2.png\|thumb\|De figuur van ''<math>y'' = ''x~~''<sup>~~^2-x-2x</~~sup~~math> ~~− ''x'' − 2~~.]] In de [[wiskunde]] is een '''polynoom''' of '''veelterm''' de som van het meervoudig [[machtsverheffen]] van een [[variabele]] die gewoonlijk <math>x</math> wordt genoemd. Als formule: : <math>a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \ldots + a_n x^n</math> waarin <math>n</math> een [[natuurlijk getal]] is en waarbij de [[coëfficiënt]] <math>a_n</math> van de hoogste macht van <math>x</math> ongelijk aan 0 is. De bovengenoemde uitdrukking waarin alle coëfficiënten gelijk zijn aan 0 en die dus ook gelijk is aan 0, heet de '''nulpolynoom'''. De getallen <math>a_0, a_1, \ldots, a_n</math> heten de coëfficiënten van de polynoom en het getal <math>n</math> heet de [[Graad (polynoom)\|graad]] van de polynoom; ook: ~~het~~de polynoom is van de ''<math>n''</math>-de graad of het is een ''<math>n''</math>-~~degraads polynoom~~degraadspolynoom. De uitdrukkingen <math>a_0, a_1 x, a_2 x^2, \ldots, a_n x^n</math> zijn de [[Term (wiskunde)\|termen]] van de polynoom. Regel 14 ⟶ 13: == Coëfficiënten == Voorbeelden van [[oneindige verzameling]]en waaruit men de coëfficiënten kan kiezen zijn de [[Natuurlijk getal\|natuurlijke getallen]], [[Geheel getal\|gehele getallen]], de [[Rationaal getal\|rationale getallen]], de [[Reëel getal\|reële getallen]] en [[Complex getal\|complexe getallen]]. We spreken dan van polynomen over <math>\N</math>, <math>\Z</math>, <math>\~~mathbb{~~Q}</math>, <math>\R</math> of <math>\~~mathbb{C}~~Complex</math>. Wanneer de coëfficiënten van een polynoom <math>f</math> uit een van deze verzamelingen worden gekozen en de [[variabele]] <math>x</math> uit <math>\~~mathbb{C}~~Complex</math>, heet <math>f</math> een [[holomorfe functie]]. Het is ook mogelijk de coëfficiënten en de variabele uit een [[Eindig lichaam (Ned) / Eindig veld (Be)\|eindig lichaam of veld]] te kiezen, genoteerd met <math>\mathbb ~~F_q~~{F}_q</math> of {{math\|GF(q)}}. {{math\|q}}, het aantal elementen in het eindig lichaam, is een [[priemgetal]] of de [[Machtsverheffen\|macht]] van een priemgetal. Voor het [[Domein (wiskunde)\|domein]] van polynomen wordt in het algemeen de verzameling van de reële getallen <math>\R</math> of de complexe getallen <math>\~~mathbb{C}~~Complex</math> genomen. Voor berekeningen in de [[algebra]] is het meestal niet nodig aan te geven, over welk domein een polynoom is gedefinieerd. De verzamelingen polynomen die bij de verschillende soorten coëfficiënten horen, vormen steeds een [[Ring (wiskunde)\|ring]]. Een ring van polynomen heet een [[veeltermring]]. De coëfficiënten van een polynoom <math>f</math> zijn de [[Symmetrische functies van een polynoom\|symmetrische functies]] van <math>f</math>, uitgedrukt in de [[Nulpunt (wiskunde)\|nulpunten]] van <math>f</math>. Regel 33 ⟶ 32: Na de 'ontdekking' van de complexe getallen is de [[hoofdstelling van de algebra]] geformuleerd, die zegt dat elke veelterm van de graad <math>n</math> over het lichaam/veld van de complexe getallen kan worden ontbonden in <math>n</math> lineaire factoren: : <math>a_n (x-b_1)(x-b_2)\ldots (x-b_n)</math>. De getallen <math>b_k (k = 0, \ldots, n)</math> zijn de [[Nulpunt (wiskunde)\|nulpunten]] van de polynoom, of de [[Wortel (wiskunde)#Wortel van een vergelijking\|wortels van de bijbehorende algebraïsche vergelijking]]. Het [[Meervoudig nulpunt van een polynoom\|aantal keren]] dat de betrokken factor in de ontbinding voorkomt, heet de ''multipliciteit'' van het nulpunt, en het aantal nulpunten van een veelterm is, als elk nulpunt even vaak wordt meegeteld als zijn multipliciteit, dus gelijk aan de graad. Regel 46 ⟶ 45: == Nulpunten van een polynoom == Volgens de [[hoofdstelling van de algebra]] is een polynoom vastgelegd door zijn nulpunten, dat mogen complexe nulpunten zijn, en een [[Wiskundige constante\|constante]]: : <math>p(x) = c (x-b_1)(x-b_2) \ldots (x-b_n)</math>, waarin de getallen <math>b_k</math> de nulpunten zijn van de polynoom. Omgekeerd zijn die nulpunten de oplossingen van de vergelijking die ontstaat door de polynoom gelijk aan nul te stellen. Zo ontstaat een algebraïsche [[Vergelijking (wiskunde)\|vergelijking]] met één onbekende <math>x</math> van de volgende vorm: : <math>a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \ldots + a_n x^n = 0</math>. Hierin is elke <math>a_k</math> een constante die de <math>k</math>-de graads coëfficiënt wordt genoemd. De graad van de polynoom, dit is de grootste waarde van <math>k</math> waarvoor geldt dat <math>a_k \neq 0</math>, wordt ook de graad van de vergelijking genoemd. Regel 60 ⟶ 59: === Voorbeeld === De ontbinding van de polynoom <math>f(x) = 5x^3-5</math> is: : <math>f(x) = 5(x - 1)~~\left~~(x^2 + x + 1~~\right~~) = 5(x - 1)\left(x + \frac{1 + i\sqrt{3}}{2}\right)\left(x + \frac{1 - i\sqrt{3}}{2}\right)</math>. De drie nulpunten van <math>f(x)</math> zijn <math>1,\ -\tfrac12(1 + i\sqrt{3})</math> en <math>- \tfrac12(1 - i\sqrt{3})</math>. Regel 67 ⟶ 66: [[Afgeleide\|Differentiëren]] van een polynoom verlaagt de graad van de polynoom met 1. Bijvoorbeeld differentiëren van <math>4x^3+5x^2+3x+2</math> van de graad 3 geeft de afgeleide polynoom <math>12x^2+10x+3</math> van de graad 2. Volgens de [[stelling van Marden]] zijn de nulpunten van de afgeleide van een derdegraads polynoom in <math>\~~mathbb{C}~~Complex</math>, waarvan de nulpunten niet [[Collineair\|op één lijn liggen]], gelijk aan de [[Brandpunt (meetkunde)\|brandpunten]] van [[Steiners ingeschreven ellips]] van de driehoek die door die nulpunten wordt gevormd. De coëfficiënten van de polynoom mogen hierin complex worden genomen. == Deling van polynomen== In het algemeen kan een polynoom <math>p(x)</math> gedeeld worden door een polynoom <math>d(x)</math> waarvan de graad lager is dan die van <math>p(x)</math>. De rest bij deling is een polynoom <math>r(x)</math>, of 0 wanneer <math>p(x)</math> precies door <math>d(x)</math> is te delen. Algemeen geldt: : <math>p(x) = q(x)d(x)+r(x)</math>, waarin de polynoom <math>q(x)</math> de quotiëntpolynoom is. Regel 95 ⟶ 94: === Factor- en reststelling === Men kan eenvoudig controleren of een polynoom <math>p(x)</math> een factor <math>x-b</math> heeft. Substitueer <math>x=b</math> in <math>p(x)</math>, dan moet gelden <math>p(b)=0</math>. Is <math>p(b)\ne 0</math>, dan is <math>p(b)</math> de rest bij de deling van <math>p(x)</math> door <math>x-b</math>, immers: : <math>p(x)=(x-b)q(x)+r</math>, waarin de rest <math>r</math> een constante is. Substitutie van <math>x=b</math> geeft: : <math>p(b)=(b-b)q(b)+r=r</math>. Dit resultaat heet de reststelling voor polynomen. Op deze reststelling zijn in het tientallige stelsel de [[negenproef]] en de [[elfproef]] gebaseerd. Regel 104 ⟶ 103: De elfproef berust op het feit dat in het tientallig stelsel 10 modulo 11 congruent is met −1. Dit wordt gebruikt om aan te tonen dat modulo 11 het getal 4532 congruent is met 0, en dus deelbaar is door 11. Immers <math>x+1</math> is een factor van <math>4x^3 + 5x^2 + 3x + 2</math>, want : <math>4(-1)^3 + 5(-1)^2 + 3(-1) + 2 = -4+5-3+2 = 0</math>, en dus is : <math>4532 = 4\times 10^3 + 5\times 10^2 + 3\times 10 + 2 = 0 \pmod{11}</math>. == Hornerschema == Het [[Hornerschema]] is een [[algoritme]] om efficiënt een veelterm in een punt ~~''x''~~<~~sub~~math>0x_0</~~sub~~math> te evalueren of om een polynoom snel te delen door een lineaire polynoom. == Karakteristieke polynoom == Regel 117 ⟶ 116: De [[karakteristieke polynoom]] <math>P_A</math> van een [[Vierkante matrix\|vierkante]] <math>n\times n</math>-matrix <math>A</math> is : <math>P_A(\lambda) = \mathrm{Det}(A - \lambda I_n)</math> Waarin Regel 142 ⟶ 141: == Veeltermen in meer variabelen == Er zijn ook veeltermen in meer dan één variabele. Een veelterm in <math>m</math> variabelen (~~''x''~~<~~sub~~math>1x_1</~~sub~~math> tot ~~''x~~<~~sub~~math>mx_m</~~sub~~math>'') van de orde ''<math>n''</math>, is dan een uitdrukking van de volgende vorm, of daartoe herleidbaar: : <math>a_0 + \sum_{1\leq k \leq m} a_{1,k} x_k + \sum_{1 \leq k_1 \leq k_2 \leq m}a_{2,k_1,k_2} x_{k_1} x_{k_2} + ~~...~~\ldots + \sum_{1 \leq k_1 \leq ~~...~~\ldots \leq k_n \leq m} a_{n,k_1,~~...~~\ldots,k_n} x_{k_1}\cdots x_{k_n}</math>, waarin ten minste een van de coëfficiënten <math>a_{n,k_1,...,k_n}</math> ongelijk is aan 0. Men spreekt wel van multinomiale functies. Zo'n veelterm kan ook geschreven worden als: : <math>\sum_{m_1,\~~dots~~ldots ,m_n} a_{m_1,\~~dots~~ldots ,m_n} x_1^{m_1}\cdots x_n^{m_n}</math>, waarin slechts eindig veel coëfficiënten ongelijk aan 0 zijn. De hoogste voorkomende macht <math>m_i</math> heet de graad van de variabele <math>x_i</math>. Het getal <math>m_1+\~~dots~~ldots +m_n</math> heet de graad van de term <math>a_{m_1,\~~dots~~ldots ,m_n} x_1^{m_1}\cdots x_n^{m_n}</math>. Het maximum van de graden van de afzonderlijke termen heet de graad van de polynoom. Specifiek voor een polynoom in één variabele <math>x</math> is de [[hoofdstelling van de algebra]] van toepassing, die zegt dat de polynoom is te schrijven als het product van een constante en een aantal keer het verschil tussen <math>x</math> en een andere constante. Deze stelling is niet eenvoudig uitbreidbaar naar een polynoom in meer variabelen. Regel 157 ⟶ 156: De volgende veelterm <math>f</math> in drie variabelen <math>x,y</math> en <math>z</math> is van de orde drie. Alle coëfficiënten zijn geheel en de producten staan in volgorde van opklimmende orde, of graad: : <math>f(x,y,z)=4x^2y-6x^2z-12xy^2+6y^2z+3xz^2-9yz^2+16xyz+4xy-6xz-2yz+3z^2</math> <math>f(x,y,z)</math> is te vereenvoudigen tot <math>(x-3y+1)(2x-z)(2y-3z)</math>. Een willekeurig gekozen polynoom in meer variabelen is meestal niet zo mooi te ontbinden. Regel 166 ⟶ 165: James Jones, Daihachiro Sato, Hideo Wada en Douglas Wiens bewijzen in hun artikel voor de [[Mathematical Association of America]] dat de volgende veelterm in de 26 variabelen <math>a</math> t/m <math>z</math> over de natuurlijke getallen met graad 25 behalve negatieve waarden, alleen alle [[priemgetal]]len als positieve waarden aanneemt:<ref name="MAA">{{en}} [[Mathematical Association of America]]. [https://pdfs.semanticscholar.org/1528/72f15e69e5a1a29e4657c7eb398be2fb97e6.pdf Diophantine representation of the set of prime numbers], 1976. {{pdf}}</ref> : <math> (k + 2)\big[1 - </math> : :<math> (wz + h + j - q)^2 - </math> : :<math> \{(gk + 2g + k + 1)(h + j) + h - z\}^2 - </math> : :<math> (2n + p + q + z - e)^2 - </math> : :<math> \{16(k + 1)^3(k + 2)(n + 1)^2 + 1 - f^2\}^2 - </math> : :<math> \{e^3(e + 2)(a + 1)^2 + 1 - o^2\}^2 - </math> : :<math> \{16r^2y^4(a^2 - 1) + 1 - u^2\}^2 - </math> : :<math> \{([a + u^2(u^2 - a)]^2 - 1)(n + 4dy)^2 + 1 - (x + cu)^2\}^2 - </math> : :<math> (n + l + v - y)^2 - </math> : :<math> (ai + k + 1 - l - i)^2 - </math> : :<math> \{(a^2 - 1)l^2 + 1 - m^2\}^2 - </math> : :<math> \{(a^2 - 1)y^2 + 1 - x^2\}^2 - </math> : :<math> \{p + l(a - n - 1) + b(2an + 2a - n^2 - 2n - 2) - m\}^2 - </math> : :<math> \{q + y(a - p - 1) + s(2ap + 2a - p^2 - 2p - 2) - x\}^2 - </math> : :<math> \{z + pl(a - p) + t(2ap - p^2 - 1) - pm\}^2\big] </math> Eerder hadden Martin Davies, [[Joeri Matijasevitsj]], [[Hilary Putnam]] en [[Julia Robinson]] het bestaan bewezen van een dergelijke veelterm.

Polynoom: verschil tussen versies