De [[Complex getal|complexen getallen]] <math>\C</math> vormen een lichaam en omvatten het lichaam van de [[Reëel getal|reële getallen]] <math>\R</math>. Dus is <math>\C/\R</math> een lichaamsuitbreiding. AngezienAangezien <math>\C</math> een [[vectorruimte]] is van dimensie 2 over <math>\R</math>, is <math>\{1, i\}</math> een basis, en is de graad van de uitbreiding <math>[\C:\R] = 2.</math> De galoisgroep bestaat uit twee elementen: de [[identiteit]] en de [[Complex geconjugeerde|complexe conjugatie]]. De uitbreiding <math>\C/\R</math> is de uitbreiding van de polynoom <math>p(x)=x^2+1,</math> dat de wortels <math>i</math> en <math>-i</math> heeft. De identiteit beeldt elke wortel op zichzelf af, en de complexe conjugatie verwisselt ze. De galoisgroep <math>\mathrm{Gal}(p)</math> is dus isomorf met de symmetriegroep <math>S_2.</math>
Een minder eenvoudig voorbeeld is deDe galoisuitbreiding van de polynoom <math>p(x)=x^3+2</math> over de rationale getallen is <math>\Q.</math> De wortels van <math>p</math> zijn <math>\sqrt[3]{2},\ \omega \sqrt[3]{2}</math> en <math>\omega^2 \sqrt[3]{2}</math> met <math>\omega = -\tfrac 12 + \tfrac12 i \sqrt{3}</math> een 3e [[eenheidswortel]]. De galoisuitbreiding is dus het splijtlichaam van <math>p</math>:
