Waterstofatoom: verschil tussen versies

2 bytes toegevoegd ,  3 jaar geleden
k
→‎Oplossing van de Schrödingervergelijking: Wikipedia:Wikiproject/SpellingCheck. Help mee!, replaced: tenslotte → ten slotte, typos fixed: coordinaten → coördinaten met AWB
k (→‎Oplossing van de Schrödingervergelijking: Wikipedia:Wikiproject/SpellingCheck. Help mee!, replaced: tenslotte → ten slotte, typos fixed: coordinaten → coördinaten met AWB)
<math> \Psi(r,\vartheta,\varphi) = R(r) Y(\vartheta, \varphi ) </math>.
 
De vergelijking kan dan zo geschreven worden dat de linker kant alleen van <math>r</math> afhangt en de rechter kant alleen van de hoekcoordinatenhoekcoördinaten <math>\vartheta, \varphi</math>. Linker en rechter kant zijn dus constant.
De Schrödingervergelijking splitst in twee, voor <math>R</math> en voor <math>Y</math>:
:<math> \frac{\hbar^2}{2m_e} \left[{1 \over r^2}{\partial \over \partial r}\left(r^2 {\partial R(r)\over \partial r}\right) - {l(l+1)R(r)\over r^2} \right] + \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{e^2}{r}R(r) + E R(r) = 0 </math>
Deze vergelijkingen hebben alleen de constante gemeen die geschreven wordt als <math>l(l+1)</math>. De tweede vergelijking heeft dan voor <math>l=0,1,2,\dots</math> [[sferische harmoniek|bolfuncties]] <math>Y_{lm}</math> als oplossing. Voor elke <math>l</math> zijn er <math>2l+1</math> oplossingen aangeduid met index <math>m</math>.
 
De eerste vergelijking wordt omgevormd door een reeks substituties. Dat gaat het eenvoudigst als de vergelijking geschreven wordt in [[atomaire eenheden]]<ref>{{aut|L.D.Landau, E.M. Lifshitz}} (2003) - ''Quantum Mechanics, non-relativistic theory'', Butterworth-Heinemann, par.36</ref>. Substitutie van <math>E=-1/2n^2</math>, <math>r=\rho n/2</math> en vervolgens <math>R=\rho^l e^{-\rho/2}w(\rho)</math> levert tenslotteten slotte
:<math>\rho w''+(2l+2-\rho)w'+(n-l-1)w=0</math>
waarvan de oplossing <math>w</math> bekend is uit de theorie van Laguerre polynomen. Voor elke <math>l</math> zijn er oneindig veel oplossingen <math>R_{nl}</math>, namelijk voor elke gehele <math>n>l</math>.
123.350

bewerkingen