Chebyshev-polynoom
De chebyshev-polynomen van de eerste soort en van de tweede soort zijn twee rijen orthogonale polynomen, genoemd naar Pafnoeti Lvovitsj Tsjebysjev (Chebyshev in de Engelse transliteratie), met belangrijke toepassingen in onder andere de filtertechniek en de numerieke wiskunde om benaderingen van functies te vinden.
Chebyshev-polynomen van de eerste soort bewerken
Definitie bewerken
De chebyshev-polynoom van de eerste soort is voor gedefinieerd als:
Deze polynoom is een oplossing van de chebyshev-differentiaalvergelijking (een sturm–liouville-differentiaalvergelijking):
Door de substitutie
gaat deze differentiaalvergelijking over in:
- ,
waaruit eenvoudig te zien is dat
een oplossing is.
De eerste tien chebyshev-polynomen van de eerste soort zijn:
Recursie bewerken
De chebyshev-polynomen van de eerste soort staan in de volgende recursieve relatie:
- voor
Voortbrengende functie bewerken
De voortbrengende functie voor de chebyshev-polynomen van de eerste soort is:
Orthogonaliteit bewerken
De chebyshev-polynomen van de eerste soort vormen op het interval [-1,1] een stelsel orthogonale polynomen ten opzichte van de gewichtsfunctie
Er geldt dus voor :
Dit is het directe gevolg van de relatie (neem )
Eigenschap bewerken
Uit de definitie van de polynomen als cosinus volgt eenvoudig:
Chebyshev-polynomen van de tweede soort bewerken
Definitie bewerken
De chebyshev-polynomen van de tweede soort zijn gedefinieerd door de recursieve betrekking:
- voor
Deze recursie verschilt slechts in de startwaarde voor van de recursierelaties voor de chebyshev-polynomen van de eerste soort.
Voor geldt:
Vanwege de ophefbare singulariteit in geldt deze formule voor alle .
De eerste acht chebyshev-polynomen van de tweede soort zijn:
Voortbrengende functie bewerken
De voortbrengende functie voor de chebyshev-polynomen van de tweede soort is:
Orthogonaliteit bewerken
De chebyshev-polynomen van de tweede soort vormen op het interval [-1,1] een stelsel orthogonale polynomen ten opzichte van de gewichtsfunctie
Er geldt dus voor :
Differentiaalvergelijking bewerken
De chebyshev-polynoom van de tweede soort is een oplossing van de chebyshev-differentiaalvergelijking:
die ook een sturm–liouville-differentiaalvergelijking is.