Ring van verzamelingen (maattheorie)

In de maattheorie, een tak van de wiskunde, is een ring van verzamelingen een niet-lege collectie deelverzamelingen van een gegeven verzameling $X$ die stabiel blijft onder het nemen van de vereniging en het verschil van twee verzamelingen.

Ringen van verzamelingen vormen de natuurlijke context voor de definitie van het begrip maat.

Definitie

Zij $X$ een verzameling. Een niet-lege familie ${\mathcal {R}}\subset 2^{X}$ is een ring van deelverzamelingen van $X$ als

1. $\forall E,F\in {\mathcal {R}}:E\cup F\in {\mathcal {R}}$
2. $\forall E,F\in {\mathcal {R}}:E\setminus F\in {\mathcal {R}}$

Elke ring bevat de lege verzameling: de ring ${\mathcal {R}}$ is namelijk per definitie een niet-lege collectie, en het verschil van een element $E\in {\mathcal {R}}$ met zichzelf is de lege verzameling.

Voorbeelden

Het kleinst mogelijke voorbeeld van een ring van deelverzamelingen van $X$ is dan ook het singleton $\left\{\emptyset \right\}.$ De grootst mogelijke ring van deelverzamelingen van $X$ is $2^{X},$ de collectie van alle deelverzamelingen van $X$ (zie machtsverzameling).

Een niet-triviaal voorbeeld van een ring wordt gevormd door de collectie $2^{(X)}$ van alle eindige deelverzamelingen van een gegeven oneindige verzameling $X$.

Booleaanse ring

Een ring is ook stabiel onder de vorming van de doorsnede $E\cap F$ en het symmetrisch verschil $E\Delta F$ van twee verzamelingen. De doorsnede kan worden opgevat als een soort vermenigvuldiging, en het symmetrisch verschil als een soort optelling. Uitgerust met die twee bewerkingen krijgt een ring van verzamelingen $\left({\mathcal {R}},\Delta ,\cap \right)$ de algebraïsche structuur van een Booleaanse ring, wat meteen ook de naam verklaart.

Een ring ${\mathcal {R}}$ van deelverzamelingen van $X$ hoeft niet altijd $X$ zelf als element te bevatten. Indien hij dat wel doet, spreken we van een algebra van verzamelingen.

Bronnen, noten en/of referenties