Algebra van verzamelingen

In de wiskunde is een algebra van verzamelingen een model voor een booleaanse algebra of een Boole-ring aan de hand van een stel deelverzamelingen van een gegeven verzameling.

De fundamentele wetten van de algebra van verzamelingenBewerken

De binaire operaties van de vereniging en doorsnede van een verzameling voldoen aan vele identiteiten. Verschillende van deze identiteiten of "wetten" hebben bekende namen. Drie paren van zulke wetten worden hieronder, zonder wiskundig bewijs, op een rijtje gezet.

Stelling 1Bewerken

Voor willekeurige verzamelingen   en   gelden de volgende identiteiten:

commutatieve wetten:

  •  
  •  

associatieve wetten:

  •  
  •  

distributieve wetten:

  •  
  •  

Merk op dat de analogie tussen de verenigingen en doorsnedes van verzamelingen, en het optellen en vermenigvuldigen van getallen, opvallend is. Net zoals optellen en vermenigvuldigen, zijn de bewerkingen van vereniging en doorsnede commutatief en associatief, en distribueert de doorsnede bewerking over verenigingen. Maar in tegenstelling tot optellen en vermenigvuldigen, distribueert vereniging ook over doorsnede.

De volgende stelling stelt twee aanvullende paren van wetten, waarbij drie speciale verzamelingen betrokken zijn: de lege verzameling, de universele verzameling en het complement van een verzameling.

Stelling 2Bewerken

Voor elke deelverzameling   van een universele verzameling   gelden de onderstaande identiteiten:

identiteitswetten:

  •  
  •  

complementaire wetten:

  •  
  •  

De identiteitswetten (samen met de commutatieve wetten) stellen dat, net zoals de getallen 0 en 1 voor optellen en vermenigvuldigen,   en   neutrale elementen voor respectievelijk de operaties vereniging en doorsnede zijn.

In tegenstelling tot optellen en vermenigvuldigen kennen vereniging en doorsnede geen inverse elementen. De complementaire wetten geven echter de fundamentele eigenschappen van de enigszins inverse-achtige unaire operatie van het complement van een verzameling.

Van de bovenstaande vijf paren wetten: de commutatieve, associatieve, distributieve, identiteits- en complementaire wetten, kan in die zin worden gezegd dat zij de gehele algebra van de verzamelingen omvatten, dat elke geldige stelling in deze algebra van verzamelingen uit deze vijf paren van wetten kunnen worden afgeleid.

DefinitieBewerken

Zij   een verzameling, universum genaamd, en zij   de machtsverzameling van   Een familie   van deelverzamelingen van   is een algebra van verzamelingen over   als ze voldoet aan de volgende eigenschappen:

  1.  
  2.  
  3.  

De elementen van   heten soms de gebeurtenissen van de algebra. Zie het artikel sigma-algebra voor een interpretatie waarin Ω de verzameling is van alle mogelijke werelden die we ons kunnen voorstellen.

Iedere algebra van verzamelingen is een ring van verzamelingen, maar niet omgekeerd.

Verband met booleaanse algebraBewerken

De bewerkingen EN, OF en NIET uit de booleaanse algebra komen overeen met de verzameling-theoretische bewerkingen doorsnede, vereniging en complement.

Verband met ringtheorieBewerken

Een algebra van verzamelingen is een commutatieve ring met eenheidselement voor de bewerkingen Δ (symmetrisch verschil) en ∩ (doorsnede). Het symmetrische verschil is gedefinieerd als

 

Het is zelfs een Boole-ring in de zin dat voor elk element het product met zichzelf, weer dat element oplevert, immers  

Verder kan deze ring worden opgevat als een associatieve algebra over het commutatieve lichaam   (de restklassen modulo 2) met als scalaire vermenigvuldiging:

 
 

Verband met kansrekeningBewerken

Algebra's van verzamelingen kunnen in principe gebruikt worden als basis voor de kansrekening. De elementen van de algebra vormen de gebeurtenissen. De kans op een gebeurtenis is een getal tussen 0 en 1 dat met een element van de algebra geassocieerd wordt.

Gebruikelijk is het aan de algebra   een bijkomende eis op te leggen, namelijk dat de vereniging van een oneindige rij gebeurtenissen opnieuw een gebeurtenis is:

 

Een algebra van verzamelingen die aan deze strengere eis voldoet, heet sigma-algebra.

In de eis kan "oneindige rij" vervangen worden door "rij", want voor een eindige rij geldt het sowieso, of door "aftelbare verzameling", want voor een vereniging maakt de volgorde niet uit.