Poissonproces

In de stochastiek is een poissonproces een telproces met onafhankelijke aangroeiingen die poissonverdeeld zijn en wel zodanig dat de parameter evenredig is met de lengte van het tijdsinterval. De evenredigheidsconstante wordt de intensiteit van het proces genoemd. De term poissonproces stamt van de onderliggende poissonverdeling, genoemd naar de Franse wiskundige Siméon Poisson, die overigens zelf nooit poissonprocessen heeft bestudeerd.

DefinitieBewerken

Het stochastische proces  , in continue tijd  , heet een poissonproces met intensiteit   als het voldoet aan:

  1.  
  2.  
  3.   is poissonverdeeld met parameter  
  4. voor alle   en alle   zijn de aangroeiingen   onderling onafhankelijk

EigenschappenBewerken

Uit de eisen 3 en 4 volgt dat voor alle   de aangroeiing   poissonverdeeld is met parameter  .

De verwachtingswaarde is:  .

De variantie is:  .

De covariantie voor   is:  .

De correlatie wordt voor   gegeven door de coëfficiënt:  .

Een poissonproces met intensiteit   is een geboorte- en sterfteproces zonder sterfte, dus met   voor alle   en een constante geboorte-intensiteit  . De geboorten in het interval   zijn gegeven het aantal   uniform verdeeld op het interval. Voor het tijdstip   van de  -de geboorte geldt:

 

Voor de tijd tussen twee geboorten, de tussenaankomsttijd, volgt dan:

 

De tussenaankomsttijd is dus exponentieel verdeeld met parameter  .