Lemma van Riemann-Lebesgue

In de wiskundige analyse, een deelgebied van de wiskunde, is het lemma van Riemann-Lebesgue, vernoemd naar Bernhard Riemann en Henri Lebesgue, van belang in de harmonische- en asymptotische analyse.

Het lemma van Riemann-Lebesgue stelt dat de integraal van een functie, zoals die hierboven, klein is. De integraal zal tot nul naderen als het aantal oscillaties toeneemt.

Het lemma zegt dat de fourier-transformatie of laplace-transformatie van een L¹-functie, dus een meetbare functie met eindige absolute integraal, in het oneindige verdwijnt.

Lemma

Laat $f\in L^{1}(\mathbb {R} )$ zijn, dus $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ is een meetbare functie met

$\int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|\mathrm {d} x<\infty$

Dan geldt voor de fouriergetransformeerde ${\mathcal {F}}$ van $f$, die gedefinieerd is als:

${\mathcal {F}}(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\omega x}\,\mathrm {d} x$

dat

$\lim _{\omega \to \pm \infty }|{\mathcal {F}}(\omega )|\to 0$

Bewijs

Het is voldoende het bewijs te leveren voor de indicatorfunctie $f=1_{[a,b]}$ van een willekeurig interval $[a,b]$.

Daarvoor geldt:

${\mathcal {F}}(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\omega x}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{a}^{b}e^{-i\omega x}\,\mathrm {d} x={\frac {e^{-i\omega a}-e^{-i\omega b}}{i\omega {\sqrt {2\pi }}}}\xrightarrow {|\omega |\to \infty } 0$

Vanwege de linariteit van de integraal geldt dit ook voor een willekeurige stapfunctie, en een willekeurige integreerbare functie is willekeurig dicht te benaden met een stapfunctie.

Externe link

• (en) Het lemma van Riemann–Lebesgue op MathWorld