Integraalkromme

In de wiskunde is een integraalkromme een parametrische kromme die een specifieke oplossing van een gewone differentiaalvergelijking of een stelsel van vergelijkingen weergeeft. Als de differentiaalvergelijking wordt weergegeven door een vectorveld of richtingsveld, raken de bijbehorende integraalkrommen op elk punt aan het vector- of richtingveld.

Drie integraalkrommen voor het richtingsveld dat hoort bij de differentiaalvergelijking $\mathrm {d} y/\mathrm {d} x=x^{2}-x-2$.
$\int (x^{2}-x-2)\,\mathrm {d} x={\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{2}}{2}}-2x+C$

■ $C=4$

■ $C=0$

■ $C=-4$

Integraalkrommen staan onder verschillende andere namen bekend, welke daarvan gebruikt wordt, is afhankelijk van de aard en de interpretatie van de differentiaalvergelijking of het vectorveld. In de natuurkunde heten de integraalkrommen voor een elektrisch- of magnetisch veld veldlijnen, terwijl integraalkrommen voor het snelheidsveld van een vloeistof bekendstaan als stroomlijnen. In dynamische systemen wordt aan de integraalkrommen voor een differentiaalvergelijking, die het systeem regelt, gerefereerd als trajectoriën of banen.

De naam 'integraalkromme' is afgeleid van een verouderde betekenis voor het woord integraal. Historisch gezien stond de operatie voor het oplossen van differentiaalvergelijkingen als het "integreren" van de vergelijking, en stonden de oplossingen bekend als “integralen”.

Definitie

Neem aan dat $\mathbf {F}$ een statisch vectorveld is, dat wil zeggen een vectorwaardige functie met cartesische coördinaten $\mathbf {F} =(F_{1},F_{2},\ldots ,F_{n})$, en $\mathbf {x} (t)$ een parametrische kromme met cartesische coördinaten $\mathbf {x} (t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),\ldots ,x_{n}(t))$. Dan is $\mathbf {x} (t)$ een integraalkromme van $\mathbf {F}$ als $\mathbf {x} (t)$ een oplossing is voor het volgende autonoom systeem van gewone differentiaalvergelijkingen:

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} x_{1}}{\mathrm {d} t}}&=F_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n})\\&\vdots \\{\frac {\mathrm {d} x_{n}}{\mathrm {d} t}}&=F_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n}).\end{aligned}}$

Een dergelijk systeem kan worden weergegeven door een enkele vectorvergelijking

$\mathbf {x} '(t)=\mathbf {F} (\mathbf {x} (t))$

Deze vergelijking maakt duidelijk dat de raakvector aan de parametrische kromme $\mathbf {x} (t)$ op elk punt langs deze kromme gelijk is aan de vector $\mathbf {F} (\mathbf {x} (t))$ en dat daarom de kromme $\mathbf {x} (t)$ op elk punt aan het vectorveld $\mathbf {F}$ raakt.

Als een gegeven vectorveld Lipschitz-continu is, dan impliceert de stelling van Picard-Lindelöf dat er voor een korte periode een unieke flux bestaat.

Referenties

• Lang, Serge (1972). Differential manifolds. Addison-Wesley Publishing Co., Inc., Reading, Mass.–London–Don Mills, Ont..