Hypergeometrische functie

In de wiskunde vormen de hypergeometrische functies een familie van speciale functies die de oplossingen zijn van een tweede orde lineaire differentiaalvergelijking en als generalisatie van de meetkundige reeks beschouwd kunnen worden.

Onder de hypergeometrische functies zijn als speciale gevallen veel belangrijke functies, zoals de exponentiële functie en de goniometrische functies.

DefinitieBewerken

De hypergeometrische functies vormen een familie, geparametriseerd door de getallen   en de reële getallen   en  , van functies die voor   gedefinieerd zijn door

 .

Daarin is   de gammafunctie.

Een andere schrijfwijze voor de functies is:

 

met

 

Met behulp van het (stijgende) pochhammersymbool  , gedefinieerd als:

 ,

kan men voor de functies ook schrijven:

 

VoorbeeldenBewerken

 
 
 
 
 
 
 
 
 , waarin   de besselfunctie is.
 , met   de gemodificeerde besselfunctie.
 , waarin   de onvolledige gammafunctie voorstelt.
 
 

GeschiedenisBewerken

Tot ongeveer 1870 werd de naam hypergeometrische functie alleen gebruikt voor 2F1. Carl Friedrich Gauss beschreef voor het eerst een groot aantal eigenschappen van deze functies in zijn doctoraatsthesis in 1812, hoewel Leonhard Euler en Johann Friedrich Pfaff tevoren al merkwaardige eigenschappen hadden ontdekt.[1]

LiteratuurBewerken

WeblinksBewerken