Hypergeometrische functie

In de wiskunde vormen de hypergeometrische functies functies, die de oplossingen zijn van een tweede orde lineaire differentiaalvergelijking en als generalisatie van de meetkundige reeks kunnen worden beschouwd. De exponentiële functie en de goniometrische functies zijn hypergeometrische functies. Carl Friedrich Gauss beschreef voor het eerst een groot aantal eigenschappen van deze functies in zijn proefschrift in 1812, hoewel Leonhard Euler en Johann Friedrich Pfaff er eerder ook al aan hadden gerekend.[1]

Definitie

bewerken

De hypergeometrische functies worden geparametriseerd door de getallen   en de reële getallen   en  , en worden voor   gedefinieerd door

 .

Daarin is   de gammafunctie.

Een andere schrijfwijze voor de functies is:

 

met

 

Met behulp van het (stijgende) pochhammersymbool  , gedefinieerd als:

 ,

kunnen de functies ook worden geschreven als:

 

Voorbeelden

bewerken
 
 
 
 
 
 
 
 
 , waarin   de besselfunctie is
 , met   de gemodificeerde besselfunctie
 , waarin   de onvolledige gammafunctie voorstelt
 
 

Tot ongeveer 1870 werd alleen   een hypergeometrische genoemd.