Boesjtsjan speelde in de jeugd van Tsjornomorets Odessa en werd in 2010 opgenomen in de opleiding van Dynamo Kiev. In de seizoenen 2013/14, 2014/15 en 2015/16 speelde hij wat wedstrijden voor het tweede elftal van de club, uitkomend op het tweede niveau. Hierna werd de doelman overgeheveld naar het eerste team, waar hij zijn debuut maakte op 20 augustus 2017. Hij mocht van coach Aljaksandr Khatskevitsj tegen Stal Dniprodzerzjynsk in de basis beginnen en keepte het hele duel. Hij zag Artem Besjedin de score openen namens Dynamo en de voorsprong werd uitgebreid door Artem Kravets en Domagoj Vida. Na een tegendoelpunt van Orest Koezyk zorgde Kravets met zijn tweede treffer voor de beslissing: 4–1.[1] Hij was nog twee seizoenen voornamelijk reservedoelman, alvorens hij in het seizoen 2019/20 een basisplaats kreeg. Aan het begin van dat seizoen tekende Boesjtsjan tevens een nieuwe verbintenis bij Dynamo, tot medio 2023.[2]