Hoofdmenu openen

Een gelukkig getal is een speciaal positief geheel getal dat bepaald wordt door het volgende procedé:

  • kwadrateer de afzonderlijke cijfers van het getal;
  • de som van deze kwadraten vormt een nieuw getal;
  • herhaal deze procedure zo lang totdat er ofwel een cyclus van getallen wordt doorlopen, ofwel het getal 1 optreedt;
  • wordt het getal 1 bereikt, dan is het oorspronkelijke getal een gelukkig getal.

De eerste twintig gelukkige getallen zijn: .[1]

Inhoud

Een meer formele definitieBewerken

Wordt (in een zeker talstelsel) bij een geheel positief getal   de rij getallen   zó gevormd dat   gelijk is aan de som van de kwadraten van de cijfers van  , dan is   een gelukkig getal als er een   bestaat waarvoor  .

Met   (of  )  wordt de eerste, tweede, ... iteratiestap beschreven van bovenbedoeld procedé. Zo is (in het tientallige stelsel):

 

De rij   (voor  ) met   is in dit geval:  .

Een rij als deze wordt ook wel genoteerd als:  .

VoorbeeldenBewerken

1. Het getal   geeft:

 

Dus is   een gelukkig getal.

2. Het getal   geeft:

 

En nu zal de cyclus   zich steeds herhalen. Daarom is   niet een gelukkig getal.[2]

EigenschappenBewerken

  • Staat er in de rij   (conform bovenstaande formele definitie) een getal   (met  ) dat een gelukkig getal is, dan is   een gelukkig getal.
Bewijs. Is   een gelukkig getal, dan is er in de rij die   als eerste term heeft, een term   (voor zekere  ) met een waarde gelijk aan  . De term   staat dan ook in de rij die begint met  . Dus is   een gelukkig getal.
  • De eigenschap ‘wel of niet gelukkig’ verandert niet indien er in de schrijfwijze in cijfers nullen worden toegevoegd of weggelaten.
Bewijs. Dit is triviaal:   erbij of eraf verandert de waarde van   niet.
  • Er zijn oneindig veel gelukkige getallen.
Bewijs. Dit volgt uit de vorige eigenschap. Maar een iets ander bewijs is het volgende.
Voor   zij  , zodat het getal   geschreven is met een   gevolgd door   nullen. Dan is voor elke  , dus voor elk van die getallen,  . En van die getallen   zijn er oneindig veel.
  • Een getal dat wordt gevormd door een permutatie van de cijfers van een gelukkig getal, is een gelukkig getal.
Bewijs. Dit berust op de commutativiteit van de optelling (van de kwadraten) van getallen.
  • Een getal   van de vorm   (met  ) is een gelukkig getal.
Bewijs. Het getal   is in dit geval een getal dat geschreven is met een   gevolgd door   nullen en dan een  ; dus:  .
Dan is  .
N.B. Dit geldt ook voor getallen   van de vorm   (met  ). Immers,
• voor   is   en  ;
• voor   is  .
  • Er zijn oneindig veel niet-gelukkige getallen.
Bewijs. Stel   voor  ; dit zijn oneindig veel getallen. Dan is:
 
En   is een niet-gelukkig getal. Dus is elk getal   van de vorm   een niet-gelukkig getal.

CyclusBewerken

Stelling. Is   een getal geschreven met   cijfers (in het decimale stelsel), dan is er precies een cyclus (in de rij gevormd volgens de formele definitie) die met   begint.

Bewijs. Voor iedere   is  . Met   is dan:

 

Immers, de maximale waarde van   voor een getal   van   cijfers is   en voor   is inderdaad voldaan aan  .

Voor   geeft de eerste iteratiestap dus een waarde  . Is vervolgens  , dan is   maximaal als  , zodat  . Daarmee leidt de eerste iteratiestap voor getallen   met   tot  .

Is  , dan is  . En voor   is  .

Als   is, dan is  , zodat voor die waarden van   de eerste iteratiestap leidt tot een waarde van  .

Conclusie - Elke   geeft na een eindig aantal iteratiestappen   een  -waarde (een term  ) die kleiner is dan  . Onderzoek van de rij getallen   geeft voor de getallen   telkens een van de twee volgende mogelijkheden:
• er is een   met  ;
• er is een   met   en  .

OpmerkingBewerken

De definitie van een gelukkig getal is afhankelijk van het talstelsel waarin de getallen zijn geschreven. Hierboven is telkens uitgegaan van het tientallige stelsel. In het binaire stelsel en het viertallige stelsel zijn alle positieve gehele getallen gelukkig.

Binaire schrijfwijzeBewerken

Wordt het getal   (geheel,  ) binair geschreven (te herkennen aan index  ), dan kan bewezen worden dat   een gelukkig getal. Hieronder staat een schets van een bewijs.

Voorbeelden
  ;  
  ;  
  ;   ;  
  ;  
  ;   ;  
  ;   ;  
  ;   ;   ;  

Merk op dat voor een willekeurig positief geheel (ook binair geschreven) getal   geldt dat  , waarbij   het getal is dat ontstaat door uit de (binaire) schrijfwijze van   alle nullen weg te laten.

En voorts is, voor een binair geschreven natuurlijk getal   met lauter   enen (met  ):

  en  

Voor iedere   ( ) geldt  . Dus de eerste iteratiestap bij zo’n   leidt altijd tot  , dus tot een getal met minder enen in de binaire schrijfwijze, en daardoor uiteindelijk tot een zekere  -waarde die gelijk is aan 1. Met andere woorden:
Stelling. Elk positief geheel getal dat binair gerepresenteerd is, is een gelukkig getal.

Zie ookBewerken

Externe linksBewerken