Een cosinustransformatie drukt de rij van
N
{\displaystyle N}
x
=
(
x
0
,
…
,
x
N
−
1
)
{\displaystyle x=(x_{0},\ldots ,x_{N-1})}
uit als lineaire combinatie van discrete functies
C
k
{\displaystyle C_{k}}
[
0
,
π
]
{\displaystyle [0,\pi ]}
x
n
=
∑
k
=
0
N
−
1
X
k
c
k
,
n
{\displaystyle x_{n}=\sum _{k=0}^{N-1}X_{k}c_{k,n}}
n
=
0
,
…
,
N
−
1
{\displaystyle n=0,\ldots ,N-1}
met
c
k
,
n
=
C
k
(
t
n
)
{\displaystyle c_{k,n}=C_{k}(t_{n})}
(
t
n
)
{\displaystyle (t_{n})}
[
0
,
π
]
{\displaystyle [0,\pi ]}
C
k
{\displaystyle C_{k}}
C
k
(
t
n
)
=
γ
k
cos
(
k
t
n
)
{\displaystyle C_{k}(t_{n})=\gamma _{k}\cos(kt_{n})}
Er zijn verschillende keuzes mogelijk voor de cosinussen, wat leidt tot de transformaties DCT-I, DCT-II, DCT-III en DCT-IV.
De transformatie DCT-I is
X
m
=
1
2
(
x
0
+
(
−
1
)
m
x
N
−
1
)
+
∑
n
=
1
N
−
2
x
n
cos
(
π
N
−
1
m
n
)
m
=
0
,
…
,
N
−
1
{\displaystyle X_{m}={\tfrac {1}{2}}(x_{0}+(-1)^{m}x_{N-1})+\sum _{n=1}^{N-2}x_{n}\cos \left({\frac {\pi }{N-1}}mn\right)\quad \quad m=0,\ldots ,N-1}
met de keuze
c
m
,
0
=
1
2
,
c
m
,
N
−
1
=
(
−
1
)
m
1
2
{\displaystyle c_{m,0}={\tfrac {1}{2}},\quad c_{m,N-1}=(-1)^{m}{\tfrac {1}{2}}}
en
c
m
,
n
=
cos
(
m
n
π
N
−
1
)
n
=
1
,
…
,
N
−
2
{\displaystyle c_{m,n}=\cos \left(mn{\frac {\pi }{N-1}}\right)\quad \quad n=1,\ldots ,N-2}
De DCT-I is op een factor
2
/
N
{\displaystyle 2/N}
De gebruikelijke vorm van de cosinustransformatie is de DCT-II. Voor het bepalen van de getransformeerde wordt het interval
[
0
,
π
]
{\displaystyle [0,\pi ]}
N
{\displaystyle N}
c
m
,
n
=
cos
(
m
(
n
+
1
2
)
π
N
)
{\displaystyle c_{m,n}=\cos \left(m\left(n+{\tfrac {1}{2}}\right){\frac {\pi }{N}}\right)}
De DCT-II is dus gedefinieerd door:
X
m
=
∑
n
=
0
N
−
1
x
n
cos
(
m
(
n
+
1
2
)
π
N
)
{\displaystyle X_{m}=\sum _{n=0}^{N-1}x_{n}\cos \left(m\left(n+{\tfrac {1}{2}}\right){\frac {\pi }{N}}\right)}
m
=
0
,
…
,
N
−
1
{\displaystyle m=0,\ldots ,N-1}
De DCT-III is op een factor
2
/
N
{\displaystyle 2/N}
c
m
,
0
=
1
2
=
1
2
cos
(
0
)
{\displaystyle c_{m,0}={\tfrac {1}{2}}={\tfrac {1}{2}}\cos(0)}
c
m
,
n
=
cos
(
(
m
+
1
2
)
n
π
N
)
{\displaystyle c_{m,n}=\cos \left(\left(m+{\tfrac {1}{2}}\right)n{\frac {\pi }{N}}\right)}
n
=
0
,
…
,
N
−
1
{\displaystyle n=0,\ldots ,N-1}
De DCT-III is dus gedefinieerd door:
X
m
=
1
2
x
0
+
∑
n
=
1
N
−
1
x
n
cos
(
(
m
+
1
2
)
n
π
N
)
{\displaystyle X_{m}={\tfrac {1}{2}}x_{0}+\sum _{n=1}^{N-1}x_{n}\cos \left(\left(m+{\tfrac {1}{2}}\right)n{\frac {\pi }{N}}\right)}
m
=
0
,
…
,
N
−
1
{\displaystyle m=0,\ldots ,N-1}
Bij deze vorm van de discrete cosinustransformatie zijn de coëfficiënten:
c
m
,
n
=
cos
(
(
m
+
1
2
)
(
n
+
1
2
)
π
N
)
{\displaystyle c_{m,n}=\cos \left(\left(m+{\tfrac {1}{2}}\right)\left(n+{\tfrac {1}{2}}\right){\frac {\pi }{N}}\right)}
De DCT-IV is dus gedefinieerd door:
X
m
=
∑
n
=
0
N
−
1
x
n
cos
(
(
m
+
1
2
)
(
n
+
1
2
)
π
N
)
{\displaystyle X_{m}=\sum _{n=0}^{N-1}x_{n}\cos \left(\left(m+{\tfrac {1}{2}}\right)\left(n+{\tfrac {1}{2}}\right){\frac {\pi }{N}}\right)}
m
=
0
,
…
,
N
−
1
{\displaystyle m=0,\ldots ,N-1}
De DCT-IV is op een factor
2
/
N
{\displaystyle 2/N}
De functies
C
k
{\displaystyle C_{k}}
a
=
(
a
0
,
…
,
a
N
−
1
)
{\displaystyle a=(a_{0},\ldots ,a_{N-1})}
⟨
a
,
b
⟩
=
∑
n
=
0
N
−
1
w
n
a
n
b
n
=
1
2
a
0
b
0
+
∑
n
=
1
N
−
2
a
n
b
n
+
1
2
a
N
−
1
b
N
−
1
{\displaystyle \langle a,b\rangle =\sum _{n=0}^{N-1}w_{n}a_{n}b_{n}={\tfrac {1}{2}}a_{0}b_{0}+\sum _{n=1}^{N-2}a_{n}b_{n}+{\tfrac {1}{2}}a_{N-1}b_{N-1}}
Dat houdt in dat:
⟨
C
i
,
C
j
⟩
=
0
{\displaystyle \langle C_{i},C_{j}\rangle =0}
i
≠
j
{\displaystyle i\neq j}
Verder is:
⟨
C
0
,
C
0
⟩
=
⟨
C
N
−
1
,
C
N
−
1
⟩
=
N
−
1
{\displaystyle \langle C_{0},C_{0}\rangle =\langle C_{N-1},C_{N-1}\rangle =N-1}
⟨
C
k
,
C
k
⟩
=
N
−
1
2
{\displaystyle \langle C_{k},C_{k}\rangle ={\tfrac {N-1}{2}}}
0
<
k
<
N
−
1
{\displaystyle 0<k<N-1}
DCT-I Orthogonaliteit:
Gekozen:
t
n
=
n
π
/
(
N
−
1
)
{\displaystyle t_{n}=n\pi /(N-1)}
C
k
(
t
n
)
=
cos
(
n
k
π
/
(
N
−
1
)
)
=
c
k
n
{\displaystyle C_{k}(t_{n})=\cos(nk\pi /(N-1))=c_{kn}}
Bewijs
⟨
C
m
,
C
k
⟩
=
1
2
c
m
0
c
k
0
+
∑
n
=
1
N
−
2
c
m
n
c
k
n
+
1
2
c
m
,
N
−
1
c
k
,
N
−
1
=
{\displaystyle \langle C_{m},C_{k}\rangle ={\tfrac {1}{2}}c_{m0}c_{k0}+\sum _{n=1}^{N-2}c_{mn}c_{kn}+{\tfrac {1}{2}}c_{m,N-1}c_{k,N-1}=}
=
1
2
(
1
+
(
−
1
)
m
+
k
)
+
∑
n
=
1
N
−
2
cos
(
m
n
h
)
cos
(
k
n
h
)
=
{\displaystyle ={\tfrac {1}{2}}(1+(-1)^{m+k})+\sum _{n=1}^{N-2}\cos \left(mnh\right)\cos \left(knh\right)=}
=
1
2
(
1
+
(
−
1
)
m
+
k
)
+
1
2
∑
n
=
1
N
−
2
(
cos
(
(
m
+
k
)
n
h
)
+
cos
(
(
m
−
k
)
n
h
)
)
{\displaystyle ={\tfrac {1}{2}}(1+(-1)^{m+k})+{\tfrac {1}{2}}\sum _{n=1}^{N-2}{\big (}\cos((m+k)nh)+\cos((m-k)nh){\big )}}
Noem
S
k
=
∑
n
=
1
N
−
2
cos
(
k
n
h
)
{\displaystyle S_{k}=\sum _{n=1}^{N-2}\cos(knh)}
Dan
2
S
k
sin
(
1
2
k
h
)
=
2
∑
n
=
1
N
−
2
cos
(
k
n
h
)
sin
(
1
2
k
h
)
=
{\displaystyle 2S_{k}\sin({\tfrac {1}{2}}kh)=2\sum _{n=1}^{N-2}\cos(knh)\sin({\tfrac {1}{2}}kh)=}
=
∑
n
=
1
N
−
2
sin
(
k
(
n
+
1
2
)
h
)
−
sin
(
k
(
n
−
1
2
)
h
)
=
{\displaystyle =\sum _{n=1}^{N-2}\sin(k(n+{\tfrac {1}{2}})h)-\sin(k(n-{\tfrac {1}{2}})h)=}
=
sin
(
k
(
N
−
3
2
)
h
)
−
sin
(
1
2
k
h
)
=
{\displaystyle =\sin(k(N-{\tfrac {3}{2}})h)-\sin({\tfrac {1}{2}}kh)=}
=
sin
(
k
(
N
−
1
)
h
)
cos
(
k
1
2
h
)
−
cos
(
k
(
N
−
1
)
h
)
sin
(
k
1
2
h
)
−
sin
(
1
2
k
h
)
{\displaystyle =\sin(k(N-1)h)\cos(k{\tfrac {1}{2}}h)-\cos(k(N-1)h)\sin(k{\tfrac {1}{2}}h)-\sin({\tfrac {1}{2}}kh)}
=
−
cos
(
k
π
)
sin
(
k
1
2
h
)
−
sin
(
1
2
k
h
)
{\displaystyle =-\cos(k\pi )\sin(k{\tfrac {1}{2}}h)-\sin({\tfrac {1}{2}}kh)}
S
k
=
−
1
2
cos
(
k
π
)
−
1
2
=
{
−
1
voor
k
even
0
voor
k
oneven
{\displaystyle S_{k}=-{\tfrac {1}{2}}\cos(k\pi )-{\tfrac {1}{2}}={\begin{cases}-1{\text{ voor }}k{\text{ even}}\\0{\text{ voor }}k{\text{ oneven}}\end{cases}}}
zodat
⟨
C
m
,
C
k
⟩
=
1
2
(
1
+
(
−
1
)
m
+
k
)
+
1
2
(
S
m
+
k
+
S
|
m
−
k
|
)
=
{
0
voor
m
+
k
even
0
voor
m
+
k
oneven
{\displaystyle \langle C_{m},C_{k}\rangle ={\tfrac {1}{2}}(1+(-1)^{m+k})+{\tfrac {1}{2}}(S_{m+k}+S_{|m-k|})={\begin{cases}0{\text{ voor }}m+k{\text{ even}}\\0{\text{ voor }}m+k{\text{ oneven}}\end{cases}}}
DCT-II Orthogonaliteit:
Gekozen:
t
n
=
(
n
+
1
2
)
h
=
(
n
+
1
2
)
π
/
N
{\displaystyle t_{n}=(n+{\tfrac {1}{2}})h=(n+{\tfrac {1}{2}})\pi /N}
C
k
(
t
n
)
=
cos
(
k
(
n
+
1
2
)
π
/
N
)
=
c
k
n
{\displaystyle C_{k}(t_{n})=\cos(k(n+{\tfrac {1}{2}})\pi /N)=c_{kn}}
Bewijs
⟨
C
m
,
C
k
⟩
=
1
2
c
m
0
c
k
0
+
∑
n
=
1
N
−
2
c
m
n
c
k
n
+
1
2
c
m
,
N
−
1
c
k
,
N
−
1
=
{\displaystyle \langle C_{m},C_{k}\rangle ={\tfrac {1}{2}}c_{m0}c_{k0}+\sum _{n=1}^{N-2}c_{mn}c_{kn}+{\tfrac {1}{2}}c_{m,N-1}c_{k,N-1}=}
=
1
2
(
cos
(
m
1
2
π
/
N
)
cos
(
k
1
2
π
/
N
)
+
cos
(
m
(
N
−
1
2
)
π
/
N
)
cos
(
k
(
N
−
1
2
)
π
/
N
)
)
+
{\displaystyle ={\tfrac {1}{2}}{\big (}\cos(m{\tfrac {1}{2}}\pi /N)\cos(k{\tfrac {1}{2}}\pi /N)+\cos(m(N-{\tfrac {1}{2}})\pi /N)\cos(k(N-{\tfrac {1}{2}})\pi /N){\big )}+}
+
∑
n
=
1
N
−
2
cos
(
m
(
n
+
1
2
)
h
)
cos
(
k
(
n
+
1
2
)
h
)
=
{\displaystyle +\sum _{n=1}^{N-2}\cos \left(m(n+{\tfrac {1}{2}})h\right)\cos \left(k(n+{\tfrac {1}{2}})h\right)=}
=
1
3
(
cos
(
(
m
+
k
)
1
2
π
/
N
)
+
cos
(
(
m
−
k
)
1
2
π
/
N
)
+
cos
(
(
m
+
k
)
(
N
−
1
2
)
π
/
N
)
+
cos
(
(
m
−
k
)
(
N
−
1
2
)
π
/
N
)
)
+
{\displaystyle ={\tfrac {1}{3}}{\big (}\cos((m+k){\tfrac {1}{2}}\pi /N)+\cos((m-k){\tfrac {1}{2}}\pi /N)+\cos((m+k)(N-{\tfrac {1}{2}})\pi /N)+\cos((m-k)(N-{\tfrac {1}{2}})\pi /N){\big )}+}
+
∑
n
=
1
N
−
2
cos
(
(
m
+
k
)
(
n
+
1
2
)
h
)
+
cos
(
(
m
−
k
)
(
n
+
1
2
)
h
)
=
{\displaystyle +\sum _{n=1}^{N-2}\cos \left((m+k)(n+{\tfrac {1}{2}})h\right)+\cos \left((m-k)(n+{\tfrac {1}{2}})h\right)=}
S
k
=
∑
n
=
1
N
−
2
cos
(
k
(
n
+
1
2
)
h
)
{\displaystyle S_{k}=\sum _{n=1}^{N-2}\cos(k(n+{\tfrac {1}{2}})h)}
Dan
2
S
k
sin
(
1
2
k
h
)
=
2
∑
n
=
1
N
−
2
cos
(
k
n
h
)
sin
(
1
2
k
h
)
=
{\displaystyle 2S_{k}\sin({\tfrac {1}{2}}kh)=2\sum _{n=1}^{N-2}\cos(knh)\sin({\tfrac {1}{2}}kh)=}
=
∑
n
=
1
N
−
2
sin
(
k
(
n
+
1
2
)
h
)
−
sin
(
k
(
n
−
1
2
)
h
)
=
{\displaystyle =\sum _{n=1}^{N-2}\sin(k(n+{\tfrac {1}{2}})h)-\sin(k(n-{\tfrac {1}{2}})h)=}
=
sin
(
k
(
N
−
3
2
)
h
)
−
sin
(
1
2
k
h
)
=
{\displaystyle =\sin(k(N-{\tfrac {3}{2}})h)-\sin({\tfrac {1}{2}}kh)=}
=
sin
(
k
(
N
−
1
)
h
)
cos
(
k
1
2
h
)
−
cos
(
k
(
N
−
1
)
h
)
sin
(
k
1
2
h
)
−
sin
(
1
2
k
h
)
{\displaystyle =\sin(k(N-1)h)\cos(k{\tfrac {1}{2}}h)-\cos(k(N-1)h)\sin(k{\tfrac {1}{2}}h)-\sin({\tfrac {1}{2}}kh)}
=
(
sin
(
k
N
h
)
cos
(
k
h
)
−
cos
(
k
N
h
)
sin
(
k
h
)
)
cos
(
k
1
2
h
)
−
(
cos
(
k
N
h
)
cos
(
k
h
)
+
sin
(
k
N
h
)
sin
(
k
h
)
)
sin
(
k
1
2
h
)
−
sin
(
1
2
k
h
)
{\displaystyle =(\sin(kNh)\cos(kh)-\cos(kNh)\sin(kh))\cos(k{\tfrac {1}{2}}h)-(\cos(kNh)\cos(kh)+\sin(kNh)\sin(kh))\sin(k{\tfrac {1}{2}}h)-\sin({\tfrac {1}{2}}kh)}
=
−
cos
(
k
N
h
)
sin
(
k
h
)
cos
(
k
1
2
h
)
−
cos
(
k
N
h
)
cos
(
k
h
)
sin
(
k
1
2
h
)
−
sin
(
1
2
k
h
)
{\displaystyle =-\cos(kNh)\sin(kh)\cos(k{\tfrac {1}{2}}h)-\cos(kNh)\cos(kh)\sin(k{\tfrac {1}{2}}h)-\sin({\tfrac {1}{2}}kh)}
=
−
cos
(
k
π
)
sin
(
k
1
2
h
)
−
sin
(
1
2
k
h
)
{\displaystyle =-\cos(k\pi )\sin(k{\tfrac {1}{2}}h)-\sin({\tfrac {1}{2}}kh)}
S
k
=
−
1
2
cos
(
k
π
)
−
1
2
=
{
−
1
voor
k
even
0
voor
k
oneven
{\displaystyle S_{k}=-{\tfrac {1}{2}}\cos(k\pi )-{\tfrac {1}{2}}={\begin{cases}-1{\text{ voor }}k{\text{ even}}\\0{\text{ voor }}k{\text{ oneven}}\end{cases}}}
zodat
⟨
C
m
,
C
k
⟩
=
1
2
(
1
+
(
−
1
)
m
+
k
)
+
1
2
(
S
m
+
k
+
S
|
m
−
k
|
)
=
{
0
voor
m
+
k
even
0
voor
m
+
k
oneven
{\displaystyle \langle C_{m},C_{k}\rangle ={\tfrac {1}{2}}(1+(-1)^{m+k})+{\tfrac {1}{2}}(S_{m+k}+S_{|m-k|})={\begin{cases}0{\text{ voor }}m+k{\text{ even}}\\0{\text{ voor }}m+k{\text{ oneven}}\end{cases}}}
x
:
[
0
,
π
]
→
R
{\displaystyle x:[0,\pi ]\to \mathbb {R} }
N
;
t
n
=
n
π
N
,
n
=
0
,
1
,
…
,
N
{\displaystyle N;t_{n}=n{\frac {\pi }{N}},\ n=0,1,\ldots ,N}
m
n
=
(
n
−
1
2
)
π
N
,
n
=
1
,
…
,
N
{\displaystyle m_{n}=(n-{\tfrac {1}{2}}){\frac {\pi }{N}},\ n=1,\ldots ,N}
I
:
x
n
=
x
(
t
n
)
,
n
=
0
,
1
,
…
,
N
{\displaystyle \mathrm {I} :\quad x_{n}=x(t_{n}),\ n=0,1,\ldots ,N}
I
I
:
x
n
=
x
(
m
n
)
,
n
=
1
,
…
,
N
{\displaystyle \mathrm {II} :\quad x_{n}=x(m_{n}),\ n=1,\ldots ,N}
C
k
(
t
)
=
cos
(
k
t
)
,
n
=
0
,
1
,
…
,
N
{\displaystyle C_{k}(t)=\cos(kt),\ n=0,1,\ldots ,N}
I
:
c
n
,
k
=
C
k
(
t
n
)
,
n
,
k
=
0
,
1
,
…
,
N
{\displaystyle \mathrm {I} :\quad c_{n,k}=C_{k}(t_{n}),\ n,k=0,1,\ldots ,N}
x
n
=
∑
k
=
0
N
c
n
,
k
X
k
,
n
=
0
,
1
,
…
,
N
{\displaystyle x_{n}=\sum _{k=0}^{N}c_{n,k}X_{k},\ n=0,1,\ldots ,N}
X
k
=
∑
n
=
0
N
x
n
c
~
n
,
k
,
k
=
0
,
1
,
…
,
N
{\displaystyle X_{k}=\sum _{n=0}^{N}x_{n}{\tilde {c}}_{n,k},\ k=0,1,\ldots ,N}
x
∗
(
t
)
=
∑
k
=
0
N
C
k
(
t
)
X
k
{\displaystyle x^{*}(t)=\sum _{k=0}^{N}C_{k}(t)X_{k}}
C
k
(
−
t
n
)
=
cos
(
−
k
t
n
)
=
cos
(
k
t
n
)
=
C
k
(
t
n
)
{\displaystyle C_{k}(-t_{n})=\cos(-kt_{n})=\cos(kt_{n})=C_{k}(t_{n})}
I
I
:
c
n
,
k
=
C
k
(
m
n
)
,
n
,
k
=
1
,
…
,
N
{\displaystyle \mathrm {II} :\quad c_{n,k}=C_{k}(m_{n}),\ n,k=1,\ldots ,N}
x
n
=
∑
k
=
1
N
c
n
,
k
X
k
,
n
=
1
,
…
,
N
{\displaystyle x_{n}=\sum _{k=1}^{N}c_{n,k}X_{k},\ n=1,\ldots ,N}
X
k
=
∑
n
=
1
N
x
n
c
~
n
,
k
,
k
=
1
,
…
,
N
{\displaystyle X_{k}=\sum _{n=1}^{N}x_{n}{\tilde {c}}_{n,k},\ k=1,\ldots ,N}
C
k
(
−
t
)
=
cos
(
−
k
t
)
=
cos
(
k
t
)
=
C
k
(
t
)
{\displaystyle C_{k}(-t)=\cos(-kt)=\cos(kt)=C_{k}(t)}
Data
x
=
(
x
0
,
…
,
x
N
)
{\displaystyle x=(x_{0},\ldots ,x_{N})}
vector in
R
N
+
1
{\displaystyle \mathbb {R} ^{N+1}}
orthogonaal stelsel (tov??)
c
k
=
(
c
k
0
,
…
,
c
k
N
)
,
k
=
0
,
…
N
{\displaystyle c_{k}=(c_{k0},\ldots ,c_{kN}),\quad k=0,\ldots N}
is volledig en o.o. en vormt dus een basis
Dus zijn er
X
0
,
…
,
X
N
{\displaystyle X_{0},\ldots ,X_{N}}
zo, dat
x
n
=
∑
k
=
0
N
X
k
c
k
n
{\displaystyle x_{n}=\sum _{k=0}^{N}X_{k}c_{kn}}
Dan
⟨
x
,
c
m
⟩
=
∑
k
=
0
N
X
k
⟨
c
k
,
c
m
⟩
=
X
m
⟨
c
m
,
c
m
⟩
{\displaystyle \langle x,c_{m}\rangle =\sum _{k=0}^{N}X_{k}\langle c_{k},c_{m}\rangle =X_{m}\langle c_{m},c_{m}\rangle }
Dus
X
m
=
⟨
x
,
c
m
⟩
⟨
c
m
,
c
m
⟩
{\displaystyle X_{m}={\frac {\langle x,c_{m}\rangle }{\langle c_{m},c_{m}\rangle }}}
Keuze??
c
k
n
=
cos
(
k
n
π
N
−
1
)
;
k
,
n
=
0
,
…
,
N
−
1
{\displaystyle c_{kn}=\cos(kn{\tfrac {\pi }{N-1}});k,n=0,\ldots ,N-1}
c
k
n
=
cos
(
k
(
n
+
1
2
)
π
N
)
;
k
,
n
=
0
,
…
,
N
−
1
{\displaystyle c_{kn}=\cos(k(n+{\tfrac {1}{2}}){\tfrac {\pi }{N}});\ k,n=0,\ldots ,N-1}
c
k
n
=
cos
(
(
k
+
1
2
)
n
π
N
)
;
k
,
n
=
0
,
…
,
N
−
1
{\displaystyle c_{kn}=\cos((k+{\tfrac {1}{2}})n{\tfrac {\pi }{N}});\ k,n=0,\ldots ,N-1}
c
k
n
=
cos
(
(
k
+
1
2
)
(
n
+
1
2
)
π
N
)
;
k
,
n
=
0
,
…
,
N
−
1
{\displaystyle c_{kn}=\cos((k+{\tfrac {1}{2}})(n+{\tfrac {1}{2}}){\tfrac {\pi }{N}});\ k,n=0,\ldots ,N-1}
En: In set theory, a set x is called a well-founded set if the set membership relation is well-founded on the transitive closure of x. The axiom of regularity, which is one of the axioms of Zermelo–Fraenkel set theory, asserts that all sets are well-founded.
welgefundeerde relatie: ieder niet leeg deel bevat een minimaal element.
welgefundeerde orde: partiele ordening die welgefundeerd is
welgefundeerde verzameling: verzameling met welgefundeerde orde
keten: deel van welgefundeerde verzameling dat totaal geordend is
preorde = homogene tweeplaatsige relatie die reflexief en transitief is.
partiele orde = preorde + antisymmetrisch
totale orde = partiele orde + totaal(="elk tweetal vergelijkbaar")
welgefundeerde totale orde = totale orde + welgefundeerd
welorde = welgefundeerde totale orde + strict
reele vectorruimte
V
{\displaystyle V}
geometrisch product
gedefinieerd in termen van inproduct en wedgeproduct:
inproduct:
a
,
b
∈
V
:
a
⋅
b
∈
R
{\displaystyle a,b\in V:a\cdot b\in \mathbb {R} }
a
⋅
b
=
b
⋅
a
{\displaystyle a\cdot b=b\cdot a}
wedgeproduct (wat is dat?):
a
∧
b
{\displaystyle a\wedge b}
a
∧
b
=
−
b
∧
a
{\displaystyle a\wedge b=-b\wedge a}
dan geometrisch product
a
b
=
a
⋅
b
+
a
∧
b
{\displaystyle ab=a\cdot b+a\wedge b}
ruimten
V
,
W
,
X
{\displaystyle V,W,X}
bilineaire afbeelding
⊗
:
V
×
W
→
X
{\displaystyle \otimes \colon V\times W\to X}
tensorproduct
⊗
(
v
,
w
)
{\displaystyle \otimes (v,w)}
genoteerd als
v
⊗
w
{\displaystyle v\otimes w}
de deelruimte van
X
{\displaystyle X}
v
⊗
w
{\displaystyle v\otimes w}
V
⊗
W
{\displaystyle V\otimes W}
Bases
(
v
1
,
…
v
n
)
⊂
V
,
(
w
1
,
…
w
m
)
⊂
W
{\displaystyle (v_{1},\ldots v_{n})\subset V,(w_{1},\ldots w_{m})\subset W}
(
v
i
⊗
w
j
)
⊂
V
⊗
W
{\displaystyle (v_{i}\otimes w_{j})\subset V\otimes W}
basis
V
⊗
W
{\displaystyle V\otimes W}
x
∈
V
⊗
W
⇒
x
=
∑
i
j
x
i
j
v
i
⊗
w
j
{\displaystyle x\in V\otimes W\Rightarrow x=\sum _{ij}x_{ij}v_{i}\otimes w_{j}}
en
a
=
∑
i
a
i
v
i
,
b
=
∑
j
b
j
w
j
⇒
a
⊗
b
=
∑
i
j
a
i
b
j
v
i
⊗
w
j
{\displaystyle a=\sum _{i}a_{i}v_{i},\quad b=\sum _{j}b_{j}w_{j}\Rightarrow a\otimes b=\sum _{ij}a_{i}b_{j}v_{i}\otimes w_{j}}
verband met kronecker-product?
Voorbeeld Het tensorproduct
R
2
⊗
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\otimes \mathbb {R} ^{2}}
(
1
,
0
)
⊗
(
1
,
0
)
=
(
1
,
0
,
0
,
0
)
{\displaystyle (1,0)\otimes (1,0)=(1,0,0,0)}
(
1
,
0
)
⊗
(
0
,
1
)
=
(
0
,
1
,
0
,
0
)
{\displaystyle (1,0)\otimes (0,1)=(0,1,0,0)}
(
0
,
1
)
⊗
(
1
,
0
)
=
(
0
,
0
,
1
,
0
)
{\displaystyle (0,1)\otimes (1,0)=(0,0,1,0)}
(
0
,
1
)
⊗
(
0
,
1
)
=
(
0
,
0
,
0
,
1
)
{\displaystyle (0,1)\otimes (0,1)=(0,0,0,1)}
dus de
R
4
{\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}
a
=
(
a
1
,
a
2
)
,
b
=
(
b
1
,
b
2
)
⇒
a
⊗
b
=
(
a
1
b
1
,
a
1
b
2
,
a
2
b
1
,
a
2
b
2
)
{\displaystyle a=(a_{1},a_{2}),\quad b=(b_{1},b_{2})\Rightarrow a\otimes b=(a_{1}b_{1},a_{1}b_{2},a_{2}b_{1},a_{2}b_{2})}
en ook door de 2×2-matrices
Tensor uit
V
⊗
V
∗
{\displaystyle V\otimes V^{*}}
v
⊗
w
∗
{\displaystyle v\otimes w^{*}}
2. axiomatisch gedefinieerd geometrisch product
a
b
{\displaystyle ab}
axioa's
a
(
b
c
)
=
(
a
b
)
c
{\displaystyle a(bc)=(ab)c}
a
(
b
+
c
)
=
a
b
+
a
c
{\displaystyle a(b+c)=ab+ac}
(
a
+
b
)
c
=
a
c
+
b
c
{\displaystyle (a+b)c=ac+bc}
a
2
=
Q
(
a
)
{\displaystyle a^{2}=Q(a)}
dan
a
⋅
b
=
1
2
(
a
b
+
b
a
)
=
1
2
(
(
a
+
b
)
2
−
a
2
−
b
2
)
{\displaystyle a\cdot b={\tfrac {1}{2}}(ab+ba)={\tfrac {1}{2}}((a+b)^{2}-a^{2}-b^{2})}
a
∧
b
=
1
2
(
a
b
−
b
a
)
{\displaystyle a\wedge b={\tfrac {1}{2}}(ab-ba)}
driehoek gevormd door a en b; dan vectorieel:
a
+
b
=
c
{\displaystyle a+b=c}
|
a
+
b
|
=
|
c
|
{\displaystyle |a+b|=|c|}
|
a
+
b
|
2
=
|
c
|
2
{\displaystyle |a+b|^{2}=|c|^{2}}
dus volgens cosinusregel:
|
a
+
b
|
2
=
|
c
|
2
=
|
a
|
2
+
|
b
|
2
−
2
|
a
|
|
b
|
cos
∠
(
a
,
b
)
{\displaystyle |a+b|^{2}=|c|^{2}=|a|^{2}+|b|^{2}-2|a||b|\cos \angle (a,b)}
|
a
+
b
|
2
−
|
a
|
2
−
|
b
|
2
=
−
2
|
a
|
|
b
|
cos
∠
(
a
,
b
)
{\displaystyle |a+b|^{2}-|a|^{2}-|b|^{2}=-2|a||b|\cos \angle (a,b)}
???
Q
(
a
+
b
)
−
Q
(
a
)
−
Q
(
b
)
=
−
2
|
a
|
|
b
|
cos
∠
(
a
,
b
)
{\displaystyle Q(a+b)-Q(a)-Q(b)=-2|a||b|\cos \angle (a,b)}
1
2
(
(
a
+
b
)
2
−
a
2
−
b
2
)
=
−
|
a
|
|
b
|
cos
∠
(
a
,
b
)
{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}((a+b)^{2}-a^{2}-b^{2})=-|a||b|\cos \angle (a,b)}
en dan
a
⋅
b
=
|
a
|
|
b
|
cos
∠
(
a
,
b
)
{\displaystyle a\cdot b=|a||b|\cos \angle (a,b)}
Dus het "dot-product" is een inproduct dat overeenkomt met het euclidische inproduct
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
(
a
⋅
b
)
⋅
c
=
1
2
(
a
b
+
b
a
)
⋅
c
=
1
2
(
1
2
(
a
b
+
b
a
)
c
+
c
1
2
(
a
b
+
b
a
)
)
=
1
4
(
a
b
c
+
b
a
c
+
c
a
b
+
c
b
a
)
{\displaystyle (a\cdot b)\cdot c={\tfrac {1}{2}}(ab+ba)\cdot c={\tfrac {1}{2}}\left({\tfrac {1}{2}}(ab+ba)c+c{\tfrac {1}{2}}(ab+ba)\right)={\tfrac {1}{4}}(abc+bac+cab+cba)}
enkelvoudig: wedgeproduct van twee vectoren
dimensie 2 of 3: alle bivectoren zijn enkelvoudig
georienteerd oppervlakte-element.
hoe tel je twee bivectoren bij elkaar op?
a
∧
b
+
c
∧
d
=
(
det
(
a
,
b
)
+
det
(
c
,
d
)
)
e
1
∧
e
2
{\displaystyle a\wedge b+c\wedge d=(\det(a,b)+\det(c,d))e_{1}\wedge e_{2}}
dus tel de opp op
in 3D
a
∧
b
=
D
12
e
1
∧
e
2
+
D
23
e
2
∧
e
3
+
D
13
e
1
∧
e
3
{\displaystyle a\wedge b=D_{12}e_{1}\wedge e_{2}+D_{23}e_{2}\wedge e_{3}+D_{13}e_{1}\wedge e_{3}}
c
∧
d
=
D
12
′
e
1
∧
e
2
+
D
23
′
e
2
∧
e
3
+
D
13
′
e
1
∧
e
3
{\displaystyle c\wedge d=D'_{12}e_{1}\wedge e_{2}+D'_{23}e_{2}\wedge e_{3}+D'_{13}e_{1}\wedge e_{3}}
in 3D alle bivectoren enkelvoudig
a
∧
b
+
c
∧
d
=
x
∧
y
{\displaystyle a\wedge b+c\wedge d=x\wedge y}
D
12
=
a
1
b
2
−
b
1
a
2
{\displaystyle D_{12}=a_{1}b_{2}-b_{1}a_{2}}
D
12
′
=
c
1
d
2
−
d
1
c
2
{\displaystyle D'_{12}=c_{1}d_{2}-d_{1}c_{2}}
dus
x
1
y
2
−
y
1
x
2
=
a
1
b
2
−
b
1
a
2
+
c
1
d
2
−
d
1
c
2
{\displaystyle x_{1}y_{2}-y_{1}x_{2}=a_{1}b_{2}-b_{1}a_{2}+c_{1}d_{2}-d_{1}c_{2}}
tel de projecties op de vlakken bij elkaar op; deze moeten de projecties zijn van
x
∧
y
{\displaystyle x\wedge y}
grassmann-algebra: vectorruimte met grassmann-product
grassmann-product
trilineaire afbeelding T:
T
(
a
x
,
b
y
,
c
z
)
=
a
b
c
T
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle T(ax,by,cz)=abcT(x,y,z)}
T
(
x
+
x
′
,
y
,
z
)
=
T
(
x
,
y
,
z
)
+
T
(
x
′
,
y
,
z
)
{\displaystyle T(x+x',y,z)=T(x,y,z)+T(x',y,z)}
etc
φ
:
V
×
W
{\displaystyle \varphi \colon V\times W}
(
v
,
w
)
{\displaystyle (v,w)}
X
{\displaystyle X}
X
{\displaystyle X}
V
⊗
W
{\displaystyle V\otimes W}
V
{\displaystyle V}
W
{\displaystyle W}
0
<
x
0
<
1
{\displaystyle 0<x_{0}<1}
x
=
1
a
1
(
1
+
1
a
2
(
1
+
1
a
3
(
1
+
…
)
)
)
{\displaystyle x={\frac {1}{a_{1}}}\left(1+{\frac {1}{a_{2}}}\left(1+{\frac {1}{a_{3}}}\left(1+\ldots \right)\right)\right)}
2
≤
a
1
≤
a
2
≤
a
3
≤
…
{\displaystyle 2\leq a_{1}\leq a_{2}\leq a_{3}\leq \ldots }
1
n
≤
x
<
1
n
−
1
{\displaystyle {\frac {1}{n}}\leq x<{\frac {1}{n-1}}}
dan
a
1
≥
n
{\displaystyle a_{1}\geq n}
het blijkt
a
1
=
n
{\displaystyle a_{1}=n}
dus
1
a
1
≤
x
<
1
a
1
−
1
{\displaystyle {\frac {1}{a_{1}}}\leq x<{\frac {1}{a_{1}-1}}}
0
≤
a
1
x
−
1
<
a
1
a
1
−
1
−
1
=
1
a
1
−
1
{\displaystyle 0\leq a_{1}x-1<{\frac {a_{1}}{a_{1}-1}}-1={\frac {1}{a_{1}-1}}}
x
=
1
a
1
(
1
+
r
)
{\displaystyle x={\frac {1}{a_{1}}}(1+r)}
a
1
x
−
1
=
r
{\displaystyle a_{1}x-1=r}
het moet zo zijn dat als je a1 te groot neemt, er een tegenspraak ontstaat
a1 te groot dan x-1/a1 te groot?
wanneer is x-1/a1 te groot?
als voor convergentie een ai<a1 nodig is
want stel
a
1
>
n
{\displaystyle a_{1}>n}
1
a
1
<
1
n
≤
x
{\displaystyle {\frac {1}{a_{1}}}<{\frac {1}{n}}\leq x}
x
−
1
a
1
>
1
n
−
1
a
1
>
1
n
−
1
n
+
1
=
1
n
(
n
+
1
)
{\displaystyle x-{\frac {1}{a_{1}}}>{\frac {1}{n}}-{\frac {1}{a_{1}}}>{\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}}={\frac {1}{n(n+1)}}}
a
1
x
−
1
>
a
1
n
(
n
+
1
)
>
1
n
+
1
{\displaystyle a_{1}x-1>{\frac {a_{1}}{n(n+1)}}>{\frac {1}{n+1}}}
Noem
1
n
=
t
n
{\displaystyle {\frac {1}{n}}=t_{n}}
en
1
a
k
=
A
k
{\displaystyle {\frac {1}{a_{k}}}=A_{k}}
dus
x
=
A
1
(
1
+
A
2
(
1
+
A
3
(
1
+
…
)
)
)
{\displaystyle x=A_{1}(1+A_{2}(1+A_{3}(1+\ldots )))}
1
2
≥
A
1
≥
A
2
≥
A
3
≥
…
{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\geq A_{1}\geq A_{2}\geq A_{3}\geq \ldots }
t
n
≤
x
<
t
n
−
1
{\displaystyle t_{n}\leq x<t_{n-1}}
A
1
=
t
n
{\displaystyle A_{1}=t_{n}}
want stel
A
1
=
t
m
;
m
=
n
+
k
{\displaystyle A_{1}=t_{m};m=n+k}
x
>
t
n
−
t
m
=
k
n
(
n
+
k
)
{\displaystyle x>t_{n}-t_{m}={\frac {k}{n(n+k)}}}
a
1
x
−
1
>
A
2
{\displaystyle a_{1}x-1>A_{2}}
a
1
x
−
1
>
a
1
t
n
t
n
+
1
>
1
n
+
1
{\displaystyle a_{1}x-1>a_{1}t_{n}t_{n+1}>{\frac {1}{n+1}}}
open interval
(
x
0
,
x
1
)
{\displaystyle (x_{0},x_{1})}
x
0
=
−
∞
,
x
1
=
+
∞
{\displaystyle x_{0}=-\infty ,x_{1}=+\infty }
verdeling
P
{\displaystyle P}
P
≪
λ
{\displaystyle P\ll \lambda }
X
{\displaystyle X}
P
X
{\displaystyle P_{X}}
P
X
≪
λ
{\displaystyle P_{X}\ll \lambda }
Verdelingsfunctie
F
X
(
x
)
=
P
(
X
≤
x
)
=
P
X
(
(
−
∞
,
x
]
)
=
∫
−
∞
x
g
(
t
)
d
t
{\displaystyle F_{X}(x)=P(X\leq x)=P_{X}((-\infty ,x])=\int _{-\infty }^{x}g(t)\,\mathrm {d} t}
F
′
=
f
{\displaystyle F'=f}
continu op
(
x
0
,
x
1
)
{\displaystyle (x_{0},x_{1})}
g
=
f
{\displaystyle g=f}
F
X
(
x
)
=
P
(
X
≤
x
)
=
∫
{
X
≤
x
}
h
(
t
)
d
t
{\displaystyle F_{X}(x)=P(X\leq x)=\int _{\{X\leq x\}}h(t)\,\mathrm {d} t}
h
,
g
{\displaystyle h,g}
Wat is de (een) dichtheid?
g
{\displaystyle g}
F
′
{\displaystyle F'}
Uniform op
(
−
1
,
1
)
{\displaystyle (-1,1)}
verdelingsfunctie gedefinieerd op heel
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
(
−
1
,
1
)
{\displaystyle (-1,1)}
[
−
1
,
1
]
{\displaystyle [-1,1]}
F
′
{\displaystyle F'}
−
1
{\displaystyle -1}
1
{\displaystyle 1}
Draaimolen
Mijn stelsel: kind maakt cirkelbeweging, dus moet er een centripetale kracht op werken; dat is de reactiekracht van de rugleuning. Reactiekracht waarop? Op traagheidskracht. Welke? Maar ik kan het ook zijn die draait! Ik zit met mijn rug tegen een weegschaal.
Draaimolen: kind is in rust, maar voelt de rugleuning! Dus is er een kracht! Maar een supergladde schijf bij z'n voeten maakt een cirkelbeweging. Hoe kan dat?
Opm: iemand staat op de grond. Snelheid 0, dus ook geen versnelling. Geen zwaartekrachtsvernelling. Maar wel een kracht, want op een weegschaal wordt die aangegeven. Maar geen nettokracht.
Elektron spiraliseert om positron. centripetale kracht is coulombkracht. Waarom "valt" het niet op het positron? Tegenwerking door centrifugale kracht.
Lichaam
F
2
5
{\displaystyle \mathbb {F} _{2}5}
F
(
a
)
=
F
(
1
+
2
2
)
=
a
5
=
31
=
1
+
3
2
=
1
−
2
2
{\displaystyle {\mathcal {F}}(a)={\mathcal {F}}(1+2{\sqrt {2}})=a^{5}=31=1+3{\sqrt {2}}=1-2{\sqrt {2}}}
Geconjugeerde! Dit geldt ook voor de machten 2 - 6.
Let op:
g
r
a
a
d
=
2
:
F
(
F
(
x
)
)
=
x
{\displaystyle \mathrm {graad} =2:{\mathcal {F}}({\mathcal {F}}(x))=x}
cyclisch
eenheidswortels: ?
Elliptische kromme over
L
{\displaystyle L}
C
:
y
2
=
x
3
+
x
+
1
{\displaystyle C:y^{2}=x^{3}+x+1}
op de kromme
is er
x
=
(
x
1
,
x
2
)
,
y
=
(
y
1
,
y
2
)
{\displaystyle x=(x_{1},x_{2}),y=(y_{1},y_{2})}
x
3
=
(
x
1
,
x
2
)
3
=
{\displaystyle x^{3}=(x_{1},x_{2})^{3}=}
y
2
=
(
y
1
,
y
2
)
2
=
{\displaystyle y^{2}=(y_{1},y_{2})^{2}=}
bv
via tabel terugzoeken
Tabel
a
=
21
=
1
+
2
2
;
x
=
a
;
y
2
=
x
3
+
x
+
1
=
a
3
+
a
+
1
=
42
=
a
19
{\displaystyle a\quad =21=1+2{\sqrt {2}};x=a;y^{2}=x^{3}+x+1=a^{3}+a\ \ +1=42=a^{19}}
a
2
=
44
=
4
+
4
2
;
x
=
a
2
;
y
2
=
x
3
+
x
+
1
=
a
6
+
a
2
+
1
=
43
=
a
11
{\displaystyle a^{2}\ \ =44=4+4{\sqrt {2}};x=a^{2};y^{2}=x^{3}+x+1=a^{6}+a^{2}+1=43=a^{11}}
a
3
=
20
=
2
2
;
y
2
=
x
3
+
x
+
1
=
a
9
+
a
3
+
1
=
31
=
a
5
{\displaystyle a^{3}\ \ =20=\quad 2{\sqrt {2}};y^{2}=x^{3}+x+1=a^{9}+a^{3}+1=31=a^{5}}
a
4
=
23
=
3
+
2
2
;
y
2
=
x
3
+
x
+
1
=
a
12
+
a
4
+
1
=
23
=
a
4
{\displaystyle a^{4}\ \ =23=3+2{\sqrt {2}};y^{2}=x^{3}+x+1=a^{12}+a^{4}+1=23=a^{4}}
a
5
=
31
=
1
+
3
2
y
2
=
21
=
a
1
{\displaystyle a^{5}\ \ =31=1+3{\sqrt {2}}y^{2}=21=a^{1}}
a
6
=
3
=
3
;
y
2
=
1
=
a
24
{\displaystyle a^{6}\ \ =3=3;y^{2}=1=a^{24}}
a
7
=
13
=
3
+
2
;
y
2
=
4
=
a
12
{\displaystyle a^{7}\ \ =13=3+\ \ {\sqrt {2}};y^{2}=4=a^{12}}
a
8
=
22
=
2
+
2
2
;
y
2
=
24
=
a
17
{\displaystyle a^{8}\ \ =22=2+2{\sqrt {2}};y^{2}=24=a^{17}}
a
9
=
10
=
2
;
y
2
=
31
=
a
5
{\displaystyle a^{9}\ \ =10=\qquad \ {\sqrt {2}};y^{2}=31=a^{5}}
a
10
=
14
=
4
+
2
;
y
2
=
12
=
a
23
{\displaystyle a^{10}\ =14=4+\ \ {\sqrt {2}};y^{2}=12=a^{23}}
a
11
=
43
=
3
+
4
2
;
y
2
=
12
=
a
23
{\displaystyle a^{11}\ =43=3+4{\sqrt {2}};y^{2}=12=a^{23}}
a
12
=
4
{\displaystyle a^{12}\ =4}
a
13
=
34
=
4
+
3
2
{\displaystyle a^{13}\ =34=4+3{\sqrt {2}}}
a
14
=
11
=
1
+
2
{\displaystyle a^{14}\ =11=1+\ \ {\sqrt {2}}}
a
15
=
30
=
3
2
{\displaystyle a^{15}\ =30=\qquad 3{\sqrt {2}}}
a
16
=
32
=
2
+
3
2
{\displaystyle a^{16}\ =32=2+3{\sqrt {2}}}
a
17
=
24
=
4
+
2
2
{\displaystyle a^{17}\ =24=4+2{\sqrt {2}}}
a
18
=
2
=
2
{\displaystyle a^{18}\ =2=2}
a
19
=
42
=
2
+
4
2
{\displaystyle a^{19}\ =42=2+4{\sqrt {2}}}
a
20
=
33
=
3
+
3
2
{\displaystyle a^{20}\ =33=3+3{\sqrt {2}}}
a
21
=
40
=
4
2
{\displaystyle a^{21}\ =40=\quad 4{\sqrt {2}}}
a
22
=
41
=
1
+
4
2
{\displaystyle a^{22}\ =41=1+4{\sqrt {2}}}
a
23
=
12
=
2
+
2
{\displaystyle a^{23}\ =12=2+\ \ {\sqrt {2}}}
a
24
=
1
{\displaystyle a^{24}\ =1}
x
=
a
4
;
y
=
a
2
;
y
=
−
a
2
=
a
14
{\displaystyle x=a^{4};y=a^{2};y=-a^{2}=a^{14}}
x
=
a
6
;
y
=
a
12
;
y
=
−
a
12
=
a
24
=
1
{\displaystyle x=a^{6};y=a^{12};y=-a^{12}=a^{24}=1}
x
=
a
7
;
y
=
a
6
;
y
=
−
a
6
=
a
18
{\displaystyle x=a^{7};y=a^{6};y=-a^{6}=a^{18}}
x
=
a
11
;
y
=
a
6
;
y
=
−
a
6
=
a
18
{\displaystyle x=a^{11};y=a^{6};y=-a^{6}=a^{18}}
x
=
a
12
;
y
=
a
6
;
y
=
−
a
6
=
a
18
{\displaystyle x=a^{12};y=a^{6};y=-a^{6}=a^{18}}
x
=
a
14
;
y
=
a
5
;
y
=
−
a
5
=
a
17
{\displaystyle x=a^{14};y=a^{5};y=-a^{5}=a^{17}}
x
=
a
18
;
y
=
a
12
;
y
=
−
a
12
=
a
24
=
1
{\displaystyle x=a^{18};y=a^{12};y=-a^{12}=a^{24}=1}
x
=
a
19
;
y
=
a
3
;
y
=
−
a
3
=
a
15
{\displaystyle x=a^{19};y=a^{3};y=-a^{3}=a^{15}}
x
=
a
20
;
y
=
a
10
;
y
=
−
a
10
=
a
22
{\displaystyle x=a^{20};y=a^{10};y=-a^{10}=a^{22}}
x
=
a
22
;
y
=
a
1
;
y
=
−
a
1
=
a
13
{\displaystyle x=a^{22};y=a^{1};y=-a^{1}=a^{13}}
x
=
a
23
;
y
=
a
3
;
y
=
−
a
3
=
a
15
{\displaystyle x=a^{23};y=a^{3};y=-a^{3}=a^{15}}
x
=
a
24
;
y
=
a
3
;
y
=
−
a
3
=
a
15
{\displaystyle x=a^{24};y=a^{3};y=-a^{3}=a^{15}}
x
=
3
+
j
;
y
=
4
+
2
j
;
y
=
1
+
3
j
{\displaystyle x=3+j;y=4+2j;y=1+3j}
x
=
3
;
y
=
4
;
y
=
1
{\displaystyle x=3;y=4;y=1}
x
=
3
+
3
j
;
y
=
3
;
y
=
2
{\displaystyle x=3+3j;y=3;y=2}
x
=
3
+
2
j
;
y
=
3
;
y
=
2
{\displaystyle x=3+2j;y=3;y=2}
x
=
4
;
y
=
3
;
y
=
2
{\displaystyle x=4;y=3;y=2}
x
=
1
+
3
j
;
y
=
1
+
4
j
;
y
=
4
+
j
{\displaystyle x=1+3j;y=1+4j;y=4+j}
x
=
2
+
2
j
;
y
=
j
;
y
=
4
j
{\displaystyle x=2+2j;y=j;y=4j}
x
=
2
+
3
j
;
y
=
j
;
y
=
4
j
{\displaystyle x=2+3j;y=j;y=4j}
x
=
1
;
y
=
j
;
y
=
4
j
{\displaystyle x=1;y=j;y=4j}
x
=
3
+
4
j
;
y
=
4
+
3
j
;
y
=
1
+
2
j
{\displaystyle x=3+4j;y=4+3j;y=1+2j}
x
=
1
+
2
j
;
y
=
1
+
j
;
y
=
4
+
4
j
{\displaystyle x=1+2j;y=1+j;y=4+4j}
x
=
2
;
y
=
4
;
y
=
1
{\displaystyle x=2;y=4;y=1}
A
:
x
=
1
;
y
=
j
{\displaystyle A:x=1;y=j}
r = 3x2+1 / 2y = 4/2j = 2/3 j
x = r2-2x = 4/3 - 2 = -2/3 = -4 = 1
y=-j-2/3-1 = -5/3-j = -j = 4j
2
A
:
x
=
1
;
y
=
4
j
{\displaystyle 2A:x=1;y=4j}
Kromme
C
=
{
(
x
,
y
)
|
y
2
=
x
3
+
a
x
2
+
b
x
+
c
}
{\displaystyle C=\{(x,y)|y^{2}=x^{3}+ax^{2}+bx+c\}}
Via de trafo
t
(
x
,
y
)
=
(
x
+
d
,
y
)
=
(
ξ
,
η
)
{\displaystyle t(x,y)=(x+d,y)=(\xi ,\eta )}
x
+
d
=
ξ
{\displaystyle x+d=\xi }
y
=
η
{\displaystyle y=\eta }
wordt C afgebeeld op
C
′
=
t
(
C
)
=
{
(
ξ
,
η
)
|
η
2
=
(
ξ
−
d
)
3
+
a
(
ξ
−
d
)
2
+
b
(
ξ
−
d
)
+
c
}
{\displaystyle C'=t(C)=\{(\xi ,\eta )|\eta ^{2}=(\xi -d)^{3}+a(\xi -d)^{2}+b(\xi -d)+c\}}
in xy-stelsel
C
′
:
y
2
=
(
x
−
d
)
3
+
a
(
x
−
d
)
2
+
b
(
x
−
d
)
+
c
=
{\displaystyle C':y^{2}=(x-d)^{3}+a(x-d)^{2}+b(x-d)+c=}
=
x
3
+
(
a
−
3
d
)
x
2
+
(
3
d
2
−
2
a
d
+
b
)
x
−
d
3
+
a
d
2
−
b
d
+
c
{\displaystyle =x^{3}+(a-3d)x^{2}+(3d^{2}-2ad+b)x-d^{3}+ad^{2}-bd+c}
Neem
d
=
1
3
a
{\displaystyle d={\tfrac {1}{3}}a}
dan
y
2
=
x
3
+
p
x
+
q
{\displaystyle y^{2}=x^{3}+px+q}
homomorfie??
q
=
0
;
y
2
=
x
3
+
p
x
{\displaystyle q=0;y^{2}=x^{3}+px}
H
(
x
,
y
)
=
(
X
,
Y
)
=
(
p
a
x
,
p
b
y
)
{\displaystyle H(x,y)=(X,Y)=(p^{a}x,p^{b}y)}
y
2
=
p
−
2
b
Y
2
=
x
3
+
p
x
=
p
−
3
a
X
3
+
p
p
−
a
X
=
p
−
3
a
X
3
+
p
1
−
a
X
{\displaystyle y^{2}=p^{-2b}Y^{2}=x^{3}+px=p^{-3a}X^{3}+pp^{-a}X=p^{-3a}X^{3}+p^{1-a}X}
Y
2
=
p
2
b
−
3
a
X
3
+
p
2
b
+
1
−
a
X
{\displaystyle Y^{2}=p^{2b-3a}X^{3}+p^{2b+1-a}X}
2
b
−
3
a
=
0
⇒
3
a
=
2
b
{\displaystyle 2b-3a=0\Rightarrow 3a=2b}
2
b
+
1
−
a
=
0
⇒
a
−
1
=
2
b
{\displaystyle 2b+1-a=0\Rightarrow a-1=2b}
−
2
a
=
1
{\displaystyle -2a=1}
a
=
−
1
/
2
{\displaystyle a=-1/2}
b
=
−
3
/
4
{\displaystyle b=-3/4}
Y
=
p
−
3
/
4
y
;
X
=
p
−
1
/
2
x
{\displaystyle Y=p^{-3/4}y;X=p^{-1/2}x}
Y
2
=
p
−
3
/
2
y
2
=
p
−
3
/
2
x
3
+
p
−
3
/
2
p
x
=
X
3
+
X
{\displaystyle Y^{2}=p^{-3/2}y^{2}=p^{-3/2}x^{3}+p^{-3/2}px=X^{3}+X}
som
(
x
,
y
)
+
(
x
′
,
y
′
)
=
(
X
,
Y
)
{\displaystyle (x,y)+(x',y')=(X,Y)}
lijn door
(
X
,
Y
)
{\displaystyle (X,Y)}
−
(
x
,
y
)
{\displaystyle -(x,y)}
r
i
c
o
=
−
r
=
Y
+
y
X
−
x
{\displaystyle \mathrm {rico} =-r={\frac {Y+y}{X-x}}}
dus
x
,
y
,
x
′
,
y
′
∈
Q
⇒
X
,
Y
∈
Q
{\displaystyle x,y,x',y'\in \mathbb {Q} \Rightarrow X,Y\in \mathbb {Q} }
het omgekeerde geldt niet
endomorfismen
ϕ
n
(
x
,
y
)
=
n
(
x
,
y
)
{\displaystyle \phi _{n}(x,y)=n(x,y)}
voor alle
n
∈
Z
{\displaystyle n\in \mathbb {Z} }
endomorfisme als
ϕ
(
(
x
,
y
)
+
(
x
′
,
y
′
)
)
=
ϕ
(
x
,
y
)
+
ϕ
(
x
′
,
y
′
)
{\displaystyle \phi ((x,y)+(x',y'))=\phi (x,y)+\phi (x',y')}
met inductie
ϕ
1
(
x
,
y
)
=
(
x
,
y
)
{\displaystyle \phi _{1}(x,y)=(x,y)}
is endomorfisme
stel
ϕ
n
(
x
,
y
)
=
n
(
x
,
y
)
{\displaystyle \phi _{n}(x,y)=n(x,y)}
is endomorfisme, dan
ϕ
n
+
1
(
(
x
,
y
)
+
(
x
′
,
y
′
)
)
=
(
n
+
1
)
(
(
x
,
y
)
+
(
x
′
,
y
′
)
)
=
{\displaystyle \phi _{n+1}((x,y)+(x',y'))=(n+1)((x,y)+(x',y'))=}
n
(
(
x
,
y
)
+
(
x
′
,
y
′
)
)
+
(
(
x
,
y
)
+
(
x
′
,
y
′
)
)
=
{\displaystyle n((x,y)+(x',y'))+((x,y)+(x',y'))=}
n
(
x
,
y
)
+
n
(
x
′
,
y
′
)
+
(
x
,
y
)
+
(
x
′
,
y
′
)
=
{\displaystyle n(x,y)+n(x',y')+(x,y)+(x',y')=}
(
n
+
1
)
(
x
,
y
)
+
(
n
+
1
)
(
x
′
,
y
′
)
=
ϕ
n
+
1
(
x
,
y
)
+
ϕ
n
+
1
(
x
′
,
y
′
)
{\displaystyle (n+1)(x,y)+(n+1)(x',y')=\phi _{n+1}(x,y)+\phi _{n+1}(x',y')}
Is ook
h
a
l
f
(
x
,
y
)
=
1
2
(
x
,
y
)
{\displaystyle \mathrm {half} (x,y)={\tfrac {1}{2}}(x,y)}
2
⋅
1
2
(
x
,
y
)
=
(
x
,
y
)
{\displaystyle 2\cdot {\tfrac {1}{2}}(x,y)=(x,y)}
1
2
(
x
,
y
)
=
(
x
′
,
y
′
)
{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(x,y)=(x',y')}
(
x
′
,
y
′
)
+
(
x
′
,
y
′
)
=
(
x
,
y
)
{\displaystyle (x',y')+(x',y')=(x,y)}
−
(
x
,
y
)
{\displaystyle -(x,y)}
(
x
′
,
y
′
)
{\displaystyle (x',y')}
Mits kromme over
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
over
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
(
x
,
y
)
∈
C
{\displaystyle (x,y)\in C}
x
,
y
∈
Q
{\displaystyle x,y\in \mathbb {Q} }
y
2
=
x
3
+
p
x
+
q
{\displaystyle y^{2}=x^{3}+px+q}
andere snijpunten
(
x
′
,
y
′
)
{\displaystyle (x',y')}
y
′
2
=
x
′
3
+
p
x
′
+
q
{\displaystyle y'^{2}=x'^{3}+px'+q}
(
y
−
y
′
)
(
y
+
y
′
)
=
x
3
−
x
′
3
+
p
(
x
−
x
′
)
{\displaystyle (y-y')(y+y')=x^{3}-x'^{3}+p(x-x')}
r
i
c
o
=
y
−
y
′
x
−
x
′
=
x
2
+
x
x
′
+
x
′
2
+
p
y
+
y
′
{\displaystyle \mathrm {rico} ={\frac {y-y'}{x-x'}}={\frac {x^{2}+xx'+x'^{2}+p}{y+y'}}}
als raakpunt, dan
x
=
x
′
,
y
=
y
′
{\displaystyle x=x',y=y'}
r
i
c
o
=
x
′
2
+
x
′
x
′
+
x
′
2
+
p
y
′
+
y
′
=
3
x
′
2
+
p
2
y
′
{\displaystyle \mathrm {rico} ={\frac {x'^{2}+x'x'+x'^{2}+p}{y'+y'}}={\frac {3x'^{2}+p}{2y'}}}
ook:
r
i
c
o
=
d
y
d
x
=
3
x
′
2
+
p
2
y
′
{\displaystyle \mathrm {rico} ={\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}={\frac {3x'^{2}+p}{2y'}}}
Raakpunt bepaald door:
y
′
2
=
x
′
3
+
p
x
′
+
q
{\displaystyle y'^{2}=x'^{3}+px'+q}
x
2
+
x
x
′
+
x
′
2
+
p
y
+
y
′
=
3
x
′
2
+
p
2
y
′
{\displaystyle {\frac {x^{2}+xx'+x'^{2}+p}{y+y'}}={\frac {3x'^{2}+p}{2y'}}}
x
2
+
x
x
′
+
x
′
2
+
p
3
x
′
2
+
p
=
y
+
y
′
2
y
′
{\displaystyle {\frac {x^{2}+xx'+x'^{2}+p}{3x'^{2}+p}}={\frac {y+y'}{2y'}}}
ξ
2
+
ξ
+
1
+
p
~
3
ξ
2
+
p
~
=
1
2
(
η
+
1
)
{\displaystyle {\frac {\xi ^{2}+\xi +1+{\tilde {p}}}{3\xi ^{2}+{\tilde {p}}}}={\tfrac {1}{2}}(\eta +1)}
met
ξ
=
x
′
x
;
η
=
y
′
y
{\displaystyle \xi ={\frac {x'}{x}};\eta ={\frac {y'}{y}}}
p
~
=
p
x
2
{\displaystyle {\tilde {p}}={\frac {p}{x^{2}}}}
dus
η
=
2
ξ
2
+
ξ
+
1
+
p
~
3
ξ
2
+
p
~
−
1
=
−
ξ
2
+
2
ξ
+
2
+
p
~
3
ξ
2
+
p
~
{\displaystyle \eta =2{\frac {\xi ^{2}+\xi +1+{\tilde {p}}}{3\xi ^{2}+{\tilde {p}}}}-1={\frac {-\xi ^{2}+2\xi +2+{\tilde {p}}}{3\xi ^{2}+{\tilde {p}}}}}
verder
η
2
=
ξ
3
x
3
+
p
ξ
x
+
q
x
3
+
p
x
+
q
=
ξ
3
+
p
x
2
ξ
+
q
x
3
1
+
p
x
2
+
q
x
3
{\displaystyle \eta ^{2}={\frac {\xi ^{3}x^{3}+p\xi x+q}{x^{3}+px+q}}={\frac {\xi ^{3}+{\frac {p}{x^{2}}}\xi +{\frac {q}{x^{3}}}}{1+{\frac {p}{x^{2}}}+{\frac {q}{x^{3}}}}}}
of met
q
~
=
q
x
3
{\displaystyle {\tilde {q}}={\frac {q}{x^{3}}}}
η
2
=
ξ
3
+
p
~
ξ
+
q
~
1
+
p
~
+
q
~
{\displaystyle \eta ^{2}={\frac {\xi ^{3}+{\tilde {p}}\xi +{\tilde {q}}}{1+{\tilde {p}}+{\tilde {q}}}}}
andere vergelijking
η
=
−
ξ
2
+
2
ξ
+
2
+
p
~
3
ξ
2
+
p
~
{\displaystyle \eta ={\frac {-\xi ^{2}+2\xi +2+{\tilde {p}}}{3\xi ^{2}+{\tilde {p}}}}}
Het lijkt niet aannemelijk dat
ξ
,
η
∈
Q
{\displaystyle \xi ,\ \eta \in \mathbb {Q} }
Kromme
y
2
=
x
3
+
x
{\displaystyle y^{2}=x^{3}+x}
endomorfismen
1
:
(
x
,
y
)
∈
C
⇒
E
(
x
,
y
)
∈
C
{\displaystyle 1:\ (x,y)\in C\Rightarrow E(x,y)\in C}
2
:
E
(
(
x
,
y
)
+
(
x
′
,
y
′
)
)
=
E
(
x
,
y
)
+
E
(
x
′
,
y
′
)
{\displaystyle 2:\ E((x,y)+(x',y'))=E(x,y)+E(x',y')}
O
(
x
,
y
)
=
∞
{\displaystyle O(x,y)=\infty }
ϕ
n
(
x
,
y
)
=
n
(
x
,
y
)
∈
E
n
d
{\displaystyle \phi _{n}(x,y)=n(x,y)\in End}
e
(
x
,
y
)
=
(
x
,
y
)
∈
E
n
d
{\displaystyle e(x,y)=(x,y)\in End}
e
(
(
x
,
y
)
+
(
x
′
,
y
′
)
)
=
(
x
,
y
)
+
(
x
′
,
y
′
)
=
e
(
x
,
y
)
+
e
(
x
′
,
y
′
)
{\displaystyle e((x,y)+(x',y'))=(x,y)+(x',y')=e(x,y)+e(x',y')}
f
(
x
,
y
)
=
(
x
,
−
y
)
∈
E
n
d
{\displaystyle f(x,y)=(x,-y)\in End}
f
(
(
x
,
y
)
+
(
x
′
,
y
′
)
)
=
f
(
x
″
,
y
″
)
=
(
x
″
,
−
y
″
)
=
{\displaystyle f((x,y)+(x',y'))=f(x'',y'')=(x'',-y'')=}
=
(
x
,
−
y
)
+
(
x
′
,
−
y
′
)
=
f
(
x
,
y
)
+
f
(
x
′
,
y
′
)
{\displaystyle =(x,-y)+(x',-y')=f(x,y)+f(x',y')}
g
(
x
,
y
)
=
(
−
x
,
i
y
)
∈
E
n
d
{\displaystyle g(x,y)=(-x,iy)\in End}
g
(
(
x
,
y
)
+
(
x
′
,
y
′
)
)
=
g
(
x
″
,
y
″
)
=
(
−
x
″
,
i
y
″
)
=
−
(
x
″
,
−
i
y
″
)
=
{\displaystyle g((x,y)+(x',y'))=g(x'',y'')=(-x'',iy'')=-(x'',-iy'')=}
=
−
(
x
,
−
i
y
)
−
(
x
′
,
−
i
y
′
)
=
g
(
x
,
y
)
+
g
(
x
′
,
y
′
)
{\displaystyle =-(x,-iy)-(x',-iy')=g(x,y)+g(x',y')}
h
(
x
,
y
)
=
(
−
x
,
−
i
y
)
∈
E
n
d
{\displaystyle h(x,y)=(-x,-iy)\in End}
h
(
(
x
,
y
)
+
(
x
′
,
y
′
)
)
=
h
(
x
″
,
y
″
)
=
(
−
x
″
,
−
i
y
″
)
=
−
(
x
″
,
i
y
″
)
=
{\displaystyle h((x,y)+(x',y'))=h(x'',y'')=(-x'',-iy'')=-(x'',iy'')=}
−
(
x
,
i
y
)
−
(
x
′
,
i
y
′
)
=
h
(
x
,
y
)
+
h
(
x
′
,
y
′
)
{\displaystyle -(x,iy)-(x',iy')=h(x,y)+h(x',y')}
x
f
2
(
x
,
y
)
=
e
(
x
,
y
)
{\displaystyle f^{2}(x,y)=e(x,y)}
f
g
(
x
,
y
)
=
g
f
(
x
,
y
)
=
h
(
x
,
y
)
{\displaystyle fg(x,y)=gf(x,y)=h(x,y)}
f
h
(
x
,
y
)
=
h
f
(
x
,
y
)
=
g
(
x
,
y
)
{\displaystyle fh(x,y)=hf(x,y)=g(x,y)}
g
2
(
x
,
y
)
=
f
(
x
,
y
)
{\displaystyle g^{2}(x,y)=f(x,y)}
g
h
(
x
,
y
)
=
h
g
(
x
,
y
)
=
e
(
x
,
y
)
{\displaystyle gh(x,y)=hg(x,y)=e(x,y)}
h
2
(
x
,
y
)
=
f
(
x
,
y
)
{\displaystyle h^{2}(x,y)=f(x,y)}
e f g h
f e h g
g h f e
h g e f +
Welke van
0
,
f
,
g
,
h
is
(
2
e
)
=
e
+
e
,
2
f
,
2
g
,
2
h
{\displaystyle 0,f,g,h{\text{ is }}(2e)=e+e,2f,2g,2h}
(
e
+
e
)
(
x
,
y
)
=
(
x
,
y
)
+
(
x
,
y
)
=
(
x
′
,
y
′
)
=
(
2
e
)
(
x
,
y
)
{\displaystyle (e+e)(x,y)=(x,y)+(x,y)=(x',y')=(2e)(x,y)}
(
f
+
f
)
(
x
,
y
)
=
(
x
,
−
y
)
+
(
x
,
−
y
)
=
(
x
′
,
y
′
)
=
(
2
f
)
(
x
,
y
)
{\displaystyle (f+f)(x,y)=(x,-y)+(x,-y)=(x',y')=(2f)(x,y)}
(
g
+
g
)
(
x
,
y
)
=
(
−
x
,
i
y
)
+
(
−
x
,
i
y
)
=
(
x
′
,
y
′
)
=
(
2
g
)
(
x
,
y
)
{\displaystyle (g+g)(x,y)=(-x,iy)+(-x,iy)=(x',y')=(2g)(x,y)}
(
h
+
h
)
(
x
,
y
)
=
(
−
x
,
−
i
y
)
+
(
−
x
,
−
i
y
)
=
(
x
′
,
y
′
)
=
(
2
h
)
(
x
,
y
)
{\displaystyle (h+h)(x,y)=(-x,-iy)+(-x,-iy)=(x',y')=(2h)(x,y)}
raaklijn in
(
x
0
,
y
0
)
{\displaystyle (x_{0},y_{0})}
T
:
y
=
d
y
d
x
(
x
−
x
0
)
+
y
0
{\displaystyle T:y={\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}(x-x_{0})+y_{0}}
d
y
d
x
=
1
2
y
d
y
2
d
x
=
1
2
y
(
3
x
2
+
1
)
=
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}={\frac {1}{2y}}{\frac {\mathrm {d} y^{2}}{\mathrm {d} x}}={\frac {1}{2y}}(3x^{2}+1)=}
y
=
1
2
y
0
(
3
x
0
2
+
1
)
(
x
−
x
0
)
+
y
0
{\displaystyle y={\frac {1}{2y_{0}}}(3x_{0}^{2}+1)(x-x_{0})+y_{0}}
anders
Kromme
F
(
x
,
y
)
=
x
3
+
x
−
y
2
=
0
{\displaystyle F(x,y)=x^{3}+x-y^{2}=0}
T
:
y
=
d
y
d
x
(
x
−
x
0
)
+
y
0
{\displaystyle T:y={\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}(x-x_{0})+y_{0}}
d
y
d
x
=
−
∂
F
∂
x
∂
F
∂
y
=
3
x
2
+
1
2
y
=
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=-{\frac {\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\partial F}{\partial y}}}={\frac {3x^{2}+1}{2y}}=}
y
=
3
x
0
2
+
1
2
y
0
(
x
−
x
0
)
+
y
0
{\displaystyle y={\frac {3x_{0}^{2}+1}{2y_{0}}}(x-x_{0})+y_{0}}
y
y
0
−
1
=
3
x
0
2
+
3
−
2
2
x
0
2
+
2
(
x
x
0
−
1
)
{\displaystyle {\frac {y}{y_{0}}}-1={\frac {3x_{0}^{2}+3-2}{2x_{0}^{2}+2}}\left({\frac {x}{x_{0}}}-1\right)}
y
y
0
−
1
=
(
3
2
−
1
x
0
2
+
1
)
(
x
x
0
−
1
)
{\displaystyle {\frac {y}{y_{0}}}-1=\left({\tfrac {3}{2}}-{\frac {1}{x_{0}^{2}+1}}\right)\left({\frac {x}{x_{0}}}-1\right)}
y
S
=
y
(
x
S
)
{\displaystyle y_{S}=y(x_{S})}
y
S
y
0
−
1
=
(
3
2
−
1
x
0
2
+
1
)
(
x
S
x
0
−
1
)
{\displaystyle {\frac {y_{S}}{y_{0}}}-1=\left({\tfrac {3}{2}}-{\frac {1}{x_{0}^{2}+1}}\right)\left({\frac {x_{S}}{x_{0}}}-1\right)}
x
S
=
±
x
0
{\displaystyle x_{S}=\pm x_{0}}
x
S
=
−
x
0
⇒
y
S
=
−
y
0
,
y
′
=
y
0
{\displaystyle x_{S}=-x_{0}\Rightarrow y_{S}=-y_{0},y'=y_{0}}
x
S
=
x
0
⇒
y
S
=
y
0
,
y
′
=
−
y
0
{\displaystyle x_{S}=x_{0}\Rightarrow y_{S}=y_{0},y'=-y_{0}}
e
+
e
=
f
{\displaystyle e+e=f}
Welke van
0
,
f
,
g
,
h
is
e
+
f
{\displaystyle 0,f,g,h{\text{ is }}e+f}
(
e
+
f
)
(
x
,
y
)
=
(
x
,
y
)
+
(
x
,
−
y
)
{\displaystyle (e+f)(x,y)=(x,y)+(x,-y)}
verbindingslijn door O
e
+
f
=
O
{\displaystyle e+f=O}
Welke van
0
,
f
,
g
,
h
is
a
=
e
+
g
{\displaystyle 0,f,g,h{\text{ is }}a=e+g}
(
e
+
g
)
(
x
,
y
)
=
(
x
,
y
)
+
(
−
x
,
i
y
)
=
(
x
′
,
y
′
)
=
a
(
x
+
y
)
{\displaystyle (e+g)(x,y)=(x,y)+(-x,iy)=(x',y')=a(x+y)}
als het een van de endomorfismen is, dan
x
S
=
−
x
0
{\displaystyle x_{S}=-x_{0}}
y
S
2
=
x
S
3
+
x
S
=
−
x
0
3
−
x
0
=
−
y
0
2
{\displaystyle y_{S}^{2}=x_{S}^{3}+x_{S}=-x_{0}^{3}-x_{0}=-y_{0}^{2}}
y
S
=
±
i
y
0
{\displaystyle y_{S}=\pm iy_{0}}
verbindingslijn
(
x
0
,
y
0
)
{\displaystyle (x_{0},y_{0})}
(
−
x
0
,
i
y
0
)
{\displaystyle (-x_{0},iy_{0})}
y
=
y
0
+
y
0
−
i
y
0
2
x
0
(
x
−
x
0
)
{\displaystyle y=y_{0}+{\frac {y_{0}-iy_{0}}{2x_{0}}}(x-x_{0})}
=
y
0
+
(
1
−
i
)
y
0
2
x
0
(
x
−
x
0
)
{\displaystyle =y_{0}+(1-i){\frac {y_{0}}{2x_{0}}}(x-x_{0})}
y
y
0
−
1
=
1
2
(
1
−
i
)
(
x
x
0
−
1
)
{\displaystyle {\frac {y}{y_{0}}}-1={\tfrac {1}{2}}(1-i)\left({\frac {x}{x_{0}}}-1\right)}
snijpunt S
y
S
y
0
−
1
=
1
2
(
1
−
i
)
(
x
S
x
0
−
1
)
{\displaystyle {\frac {y_{S}}{y_{0}}}-1={\tfrac {1}{2}}(1-i)\left({\frac {x_{S}}{x_{0}}}-1\right)}
NB mogelijk is
x
′
=
x
S
=
−
x
0
{\displaystyle x'=x_{S}=-x_{0}}
y
S
y
0
−
1
=
i
−
1
{\displaystyle {\frac {y_{S}}{y_{0}}}-1=i-1}
y
S
y
0
=
i
{\displaystyle {\frac {y_{S}}{y_{0}}}=i}
y
S
=
i
y
0
{\displaystyle y_{S}=iy_{0}}
y
′
=
−
y
S
=
−
i
y
0
{\displaystyle y'=-y_{S}=-iy_{0}}
a
=
h
{\displaystyle a=h}
Welke van
0
,
f
,
g
,
h
is
e
+
h
{\displaystyle 0,f,g,h{\text{ is }}e+h}
(
e
+
h
)
(
x
,
y
)
=
(
x
,
y
)
+
(
−
x
,
−
i
y
)
=
(
x
′
,
y
′
)
{\displaystyle (e+h)(x,y)=(x,y)+(-x,-iy)=(x',y')}
als het een van de endomorfismen is, dan
x
S
=
x
0
{\displaystyle x_{S}=x_{0}}
y
S
2
=
x
S
3
+
x
S
=
x
0
3
+
x
0
=
y
0
2
{\displaystyle y_{S}^{2}=x_{S}^{3}+x_{S}=x_{0}^{3}+x_{0}=y_{0}^{2}}
y
S
=
±
y
0
{\displaystyle y_{S}=\pm y_{0}}
x
S
=
−
x
0
{\displaystyle x_{S}=-x_{0}}
y
S
2
=
x
S
3
+
x
S
=
−
x
0
3
−
x
0
=
−
y
0
2
{\displaystyle y_{S}^{2}=x_{S}^{3}+x_{S}=-x_{0}^{3}-x_{0}=-y_{0}^{2}}
y
S
=
±
i
y
0
{\displaystyle y_{S}=\pm iy_{0}}
verbindingslijn
(
x
0
,
y
0
)
{\displaystyle (x_{0},y_{0})}
(
−
x
0
,
−
i
y
0
)
{\displaystyle (-x_{0},-iy_{0})}
y
=
y
0
+
y
0
+
i
y
0
2
x
0
(
x
−
x
0
)
{\displaystyle y=y_{0}+{\frac {y_{0}+iy_{0}}{2x_{0}}}(x-x_{0})}
=
y
0
+
(
1
+
i
)
y
0
2
x
0
(
x
−
x
0
)
{\displaystyle =y_{0}+(1+i){\frac {y_{0}}{2x_{0}}}(x-x_{0})}
y
y
0
−
1
=
1
2
(
1
+
i
)
(
x
x
0
−
1
)
{\displaystyle {\frac {y}{y_{0}}}-1={\tfrac {1}{2}}(1+i)\left({\frac {x}{x_{0}}}-1\right)}
snijpunt S
y
S
y
0
−
1
=
1
2
(
1
+
i
)
(
x
S
x
0
−
1
)
{\displaystyle {\frac {y_{S}}{y_{0}}}-1={\tfrac {1}{2}}(1+i)\left({\frac {x_{S}}{x_{0}}}-1\right)}
Als
x
′
=
x
S
=
−
x
0
{\displaystyle x'=x_{S}=-x_{0}}
y
S
y
0
−
1
=
−
i
−
1
{\displaystyle {\frac {y_{S}}{y_{0}}}-1=-i-1}
y
S
y
0
=
−
i
{\displaystyle {\frac {y_{S}}{y_{0}}}=-i}
y
S
=
−
i
y
0
{\displaystyle y_{S}=-iy_{0}}
y
′
=
−
y
S
=
i
y
0
{\displaystyle y'=-y_{S}=iy_{0}}
e
+
h
=
g
{\displaystyle e+h=g}
Welke van
0
,
f
,
g
,
h
is
g
+
h
{\displaystyle 0,f,g,h{\text{ is }}g+h}
(
g
+
h
)
(
x
,
y
)
=
(
−
x
,
i
y
)
+
(
−
x
,
−
i
y
)
{\displaystyle (g+h)(x,y)=(-x,iy)+(-x,-iy)}
verbindingslijn door O
g
+
h
=
O
{\displaystyle g+h=O}
Voor bv het lichaam
K
=
G
F
(
5
)
{\displaystyle K=\mathrm {GF} (5)}
y
2
=
x
3
+
x
+
1
{\displaystyle y^{2}=x^{3}+x+1}
x
{\displaystyle x}
x
3
+
x
+
1
{\displaystyle x^{3}+x+1}
y
{\displaystyle y}
(
x
,
y
)
{\displaystyle (x,y)}
relatie
0
1
1,4
(0,1),(0,4)
(0,1) = -(0,4)
1
3
-
-
2
1
1,4
(2,1),(2,4)
(2,1) = -(2,4)
3
1
1,4
(3,1),(3,4)
(3,1) = -(3,4)
4
4
2,3
(4,2),(4,3)
(4,2) = -(4,3)
Uit oogpunt van symmetrie:
x
{\displaystyle x}
x
3
+
x
+
1
{\displaystyle x^{3}+x+1}
y
{\displaystyle y}
(
x
,
y
)
{\displaystyle (x,y)}
relatie
2
1
1,-1
(2,1),(2,-1)
(2,-1) = -(2,1)
1
-2
-
-
0
1
1,-1
(0,1),(0,-1)
(0,-1) = -(0,1)
-1
-1
2,-2
(-1,2),(-1,-2)
(-1,-2) = -(-1,2)
-2
1
1,-1
(-2,1),(-2,-1)
(-2,-1) = -(-2,1)
Noem de punten:
0
=
∞
,
A
=
(
−
2
,
1
)
,
B
=
(
−
1
,
2
)
,
C
=
(
0
,
1
)
,
D
=
(
2
,
1
)
{\displaystyle 0=\infty ,\,A=(-2,1),\,B=(-1,2),\,C=(0,1),\,D=(2,1)}
en
−
A
=
(
−
2
,
−
1
)
,
−
B
=
(
−
1
,
−
2
)
,
−
C
=
(
0
,
−
1
)
,
−
D
=
(
2
,
−
1
)
{\displaystyle -A=(-2,-1),\,-B=(-1,-2),\,-C=(0,-1),\,-D=(2,-1)}
(0-2)
B
02
A
C
D
(20)
-20
-10
00
10
20
(-20)
-A
–C
–D
-B
0-2
(02)
lijnen door: -AA0, -BB0, -CC0, -DDO, ACD, AB, -CA, -DBC, plus gespiegeld
dan met A als voortbrenger:
2
A
=
C
,
3
A
=
−
D
,
4
A
=
B
,
5
A
=
−
B
,
6
A
=
D
,
7
A
=
−
C
,
8
A
=
−
A
,
9
A
=
0
{\displaystyle 2A=C,\,3A=-D,\,4A=B,\,5A=-B,\,6A=D,\,7A=-C,\,8A=-A,\,9A=0}
bv
A: X=-2;Y=1
2A: X=RICO= -2/2=-1; snijpunt -C, 2A=C
etc
Andere voortbrengers:
2
A
,
4
A
,
5
A
=
−
4
A
,
7
A
=
−
2
A
,
8
A
=
−
A
{\displaystyle 2A,4A,\,5A=-4A,\,7A=-2A,\,8A=-A}
De punten
3
A
{\displaystyle 3A}
6
A
=
−
3
A
{\displaystyle 6A=-3A}
Endomorfismen De afbeeldingen
ϕ
n
{\displaystyle \phi _{n}}
ϕ
n
(
X
,
Y
)
=
n
(
X
,
Y
)
{\displaystyle \phi _{n}(X,Y)=n(X,Y)}
zijn endomorismen op de groep, immers:
ϕ
n
(
k
A
+
m
A
)
=
n
(
k
A
+
m
A
)
=
n
(
k
+
m
)
A
=
n
k
A
+
n
m
A
=
ϕ
n
(
k
A
)
+
ϕ
n
(
m
A
)
{\displaystyle \phi _{n}(kA+mA)=n(kA+mA)=n(k+m)A=nkA+nmA=\phi _{n}(kA)+\phi _{n}(mA)}
Ze vormen een ring, met
(
ϕ
n
+
ϕ
m
)
(
k
A
)
=
ϕ
n
(
k
A
)
+
ϕ
m
(
k
A
)
=
n
k
A
+
m
k
A
=
ϕ
n
(
k
A
)
+
ϕ
m
(
k
A
)
{\displaystyle (\phi _{n}+\phi _{m})(kA)=\phi _{n}(kA)+\phi _{m}(kA)=nkA+mkA=\phi _{n}(kA)+\phi _{m}(kA)}
en
(
ϕ
n
∘
ϕ
m
)
(
k
A
)
=
ϕ
n
(
ϕ
m
(
k
A
)
)
=
ϕ
n
(
m
k
A
)
=
ϕ
n
m
(
k
A
)
{\displaystyle (\phi _{n}\circ \phi _{m})(kA)=\phi _{n}(\phi _{m}(kA))=\phi _{n}(mkA)=\phi _{nm}(kA)}
Zijn er nog andere?
Voor een endomorfisme
ε
:
C
→
C
{\displaystyle \varepsilon \colon C\to C}
k
{\displaystyle k}
x
{\displaystyle x}
ε
(
k
x
)
=
k
ε
(
x
)
{\displaystyle \varepsilon (kx)=k\varepsilon (x)}
dus is als er een voortbrenger
A
{\displaystyle A}
ε
(
A
)
=
r
A
{\displaystyle \varepsilon (A)=rA}
is voor alle
x
{\displaystyle x}
ε
(
x
)
=
ε
(
m
x
A
)
=
m
x
ε
(
A
)
=
m
x
r
A
=
r
x
=
ϕ
r
(
x
)
{\displaystyle \varepsilon (x)=\varepsilon (m_{x}A)=m_{x}\varepsilon (A)=m_{x}rA=rx=\phi _{r}(x)}
Er zijn geen andere endomorfismen dan de triviale, tenzij de groep niet cyclisch is.
Frobenius-endomorfisme is een endomorfisme op deze ring, die abels is.
Maar geïnduceerd: Literatuur: Frobenius-endomorfisme.
F
(
X
,
Y
)
=
(
X
5
,
Y
5
)
{\displaystyle {\mathcal {F}}(X,Y)=(X^{5},Y^{5})}
In dit geval is K geen uitbreiding:
F
(
A
)
=
F
(
3
,
1
)
=
(
3
5
,
1
5
)
=
(
3
,
1
)
{\displaystyle {\mathcal {F}}(A)={\mathcal {F}}(3,1)=(3^{5},1^{5})=(3,1)}
F
(
B
)
=
F
(
4
,
2
)
=
(
4
5
,
2
5
)
=
(
4
,
2
)
{\displaystyle {\mathcal {F}}(B)={\mathcal {F}}(4,2)=(4^{5},2^{5})=(4,2)}
etc
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
Levert dit een ander endomorfisme op de groep?
stel
x
∈
L
{\displaystyle x\in L}
x
=
(
a
,
b
)
=
a
+
b
3
;
a
,
b
∈
K
{\displaystyle x=(a,b)=a+b{\sqrt {3}};a,b\in K}
x
5
=
(
a
+
b
3
)
5
=
a
5
+
4
b
5
3
=
a
+
4
b
3
=
a
−
b
3
=
x
∗
{\displaystyle x^{5}=(a+b{\sqrt {3}})^{5}=a^{5}+4b^{5}{\sqrt {3}}=a+4b{\sqrt {3}}=a-b{\sqrt {3}}=x^{*}}
Zoiets als geconjugeerde, maar op de elliptische kromme de tegengestelde.
(
X
,
Y
)
+
(
X
′
,
Y
′
)
=
(
X
″
,
Y
″
)
{\displaystyle (X,Y)+(X',Y')=(X'',Y'')}
met
(
X
″
,
Y
″
)
{\displaystyle (X'',Y'')}
(
X
,
Y
)
,
(
X
′
,
Y
′
)
{\displaystyle (X,Y),(X',Y')}
dan
F
(
(
X
,
Y
)
+
(
X
′
,
Y
′
)
)
=
(
X
″
5
,
Y
″
5
)
=
(
X
5
,
Y
5
)
+
(
X
′
5
,
Y
′
5
)
=
F
(
X
,
Y
)
+
F
(
X
′
,
Y
′
)
{\displaystyle {\mathcal {F}}((X,Y)+(X',Y'))=(X''^{5},Y''^{5})=(X^{5},Y^{5})+(X'^{5},Y'^{5})={\mathcal {F}}(X,Y)+{\mathcal {F}}(X',Y')}
Maar
F
(
A
)
=
(
X
A
5
,
Y
A
5
)
{\displaystyle {\mathcal {F}}(A)=(X_{A}^{5},Y_{A}^{5})}
(
X
A
5
,
Y
A
5
)
=
r
A
=
r
(
X
A
,
Y
A
)
{\displaystyle (X_{A}^{5},Y_{A}^{5})=rA=r(X_{A},Y_{A})}
dan
F
(
2
A
)
=
F
(
A
+
A
)
=
F
(
A
)
+
F
(
A
)
=
(
X
A
5
,
Y
A
5
)
+
(
X
A
5
,
Y
A
5
)
=
r
A
+
r
A
=
2
r
A
{\displaystyle {\mathcal {F}}(2A)={\mathcal {F}}(A+A)={\mathcal {F}}(A)+{\mathcal {F}}(A)=(X_{A}^{5},Y_{A}^{5})+(X_{A}^{5},Y_{A}^{5})=rA+rA=2rA}
Analoog
F
(
n
A
)
=
n
r
A
=
r
n
A
{\displaystyle {\mathcal {F}}(nA)=nrA=rnA}
dus voor alle
F
(
x
)
=
r
x
{\displaystyle {\mathcal {F}}(x)=rx}
wat betekent dit?
Tel
(
x
,
y
)
+
(
x
′
,
y
′
)
=
(
x
S
,
y
S
)
{\displaystyle (x,y)+(x',y')=(x_{S},y_{S})}
F
(
(
x
,
y
)
+
(
x
′
,
y
′
)
)
=
F
(
x
S
,
y
S
)
=
(
x
S
p
,
y
S
p
)
=
{\displaystyle F((x,y)+(x',y'))=F(x_{S},y_{S})=(x_{S}^{p},y_{S}^{p})=}
x
S
=
r
2
−
(
x
+
x
′
)
{\displaystyle x_{S}=r^{2}-(x+x')}
x
S
p
=
r
2
p
−
(
x
p
+
x
′
p
)
=
{\displaystyle x_{S}^{p}=r^{2p}-(x^{p}+x'^{p})=}
vermoedelijk
(
x
S
p
,
y
S
p
)
=
(
x
p
,
y
p
)
+
(
(
x
′
p
,
y
′
p
)
{\displaystyle (x_{S}^{p},y_{S}^{p})=(x^{p},y^{p})+((x'^{p},y'^{p})}
dan is
F
{\displaystyle F}
De Engelse W. zegt: als lichaam eindig is zijn er niet-triviale endomorfismen, afkomstig van het frobemius-endomorfisme.
Eindig lichaam
K
=
G
F
(
p
n
)
{\displaystyle K=\mathrm {GF} (p^{n})}
p
{\displaystyle p}
ϕ
{\displaystyle \phi }
Frobenius-endomorfisme op de ring!!!:
F
(
ϕ
)
=
ϕ
p
{\displaystyle {\mathcal {F}}(\phi )=\phi ^{p}}
ϕ
p
=
ϕ
∘
…
∘
ϕ
{\displaystyle \phi ^{p}=\phi \circ \ldots \circ \phi }
dan,
ϕ
p
(
(
x
,
y
)
+
(
x
′
,
y
′
)
)
=
ϕ
p
−
1
∘
ϕ
(
(
x
,
y
)
+
(
x
′
,
y
′
)
)
=
ϕ
p
−
1
(
ϕ
(
x
,
y
)
+
ϕ
(
x
′
,
y
′
)
)
=
{\displaystyle \phi ^{p}((x,y)+(x',y'))=\phi ^{p-1}\circ \phi ((x,y)+(x',y'))=\phi ^{p-1}(\phi (x,y)+\phi (x',y'))=}
ϕ
p
(
(
x
,
y
)
+
(
x
′
,
y
′
)
)
=
(
ϕ
(
x
,
y
)
)
p
+
(
ϕ
(
x
′
,
y
′
)
)
p
{\displaystyle \phi ^{p}((x,y)+(x',y'))=(\phi (x,y))^{p}+(\phi (x',y'))^{p}}
algemeen: endomorfismen
ϕ
,
ψ
{\displaystyle \phi ,\,\psi }
ϕ
∘
ψ
{\displaystyle \phi \circ \psi }
F
(
ϕ
+
ψ
)
(
x
,
y
)
=
(
ϕ
+
ψ
)
p
(
x
,
y
)
=
{\displaystyle {\mathcal {F}}(\phi +\psi )(x,y)=(\phi +\psi )^{p}(x,y)=}
=
(
ϕ
+
ψ
)
p
−
1
(
ϕ
+
ψ
)
(
x
,
y
)
=
{\displaystyle =(\phi +\psi )^{p-1}(\phi +\psi )(x,y)=}
=
(
ϕ
+
ψ
)
p
−
1
(
ϕ
(
x
,
y
)
+
ψ
(
x
,
y
)
)
=
{\displaystyle =(\phi +\psi )^{p-1}(\phi (x,y)+\psi (x,y))=}
etc
(
ϕ
+
ψ
)
p
=
(
ϕ
+
ψ
)
p
−
1
(
ϕ
+
ψ
)
=
{\displaystyle (\phi +\psi )^{p}=(\phi +\psi )^{p-1}(\phi +\psi )=}
=
(
ϕ
+
ψ
)
p
−
2
(
ϕ
2
+
ψ
2
+
ϕ
ψ
+
ψ
ϕ
)
=
{\displaystyle =(\phi +\psi )^{p-2}(\phi ^{2}+\psi ^{2}+\phi \psi +\psi \phi )=}
=
(
ϕ
+
ψ
)
p
−
3
(
ϕ
3
+
ϕ
2
ψ
+
ϕ
ψ
ϕ
+
ϕ
ψ
2
+
ψ
ϕ
2
+
ψ
ϕ
ψ
+
ψ
2
ϕ
+
ϕ
3
=
{\displaystyle =(\phi +\psi )^{p-3}(\phi ^{3}+\phi ^{2}\psi +\phi \psi \phi +\phi \psi ^{2}+\psi \phi ^{2}+\psi \phi \psi +\psi ^{2}\phi +\phi ^{3}=}
ϕ
n
{\displaystyle \phi _{n}}
Frobenius
F
(
ϕ
n
)
=
(
ϕ
n
)
p
=
ϕ
n
p
{\displaystyle {\mathcal {F}}(\phi _{n})=(\phi _{n})^{p}=\phi _{n^{p}}}
F
(
ϕ
n
+
ϕ
m
)
=
F
(
ϕ
n
+
m
)
=
{\displaystyle {\mathcal {F}}(\phi _{n}+\phi _{m})={\mathcal {F}}(\phi _{n+m})=}
=
ϕ
(
n
+
m
)
p
=
ϕ
(
n
p
+
m
p
)
=
ϕ
n
p
+
ϕ
m
p
=
F
(
ϕ
n
)
+
F
(
ϕ
m
)
{\displaystyle =\phi _{(n+m)^{p}}=\phi _{(n^{p}+m^{p})}=\phi _{n^{p}}+\phi _{m^{p}}={\mathcal {F}}(\phi _{n})+{\mathcal {F}}(\phi _{m})}
F
(
ϕ
n
ϕ
m
)
=
F
(
ϕ
n
m
)
=
{\displaystyle {\mathcal {F}}(\phi _{n}\phi _{m})={\mathcal {F}}(\phi _{nm})=}
=
ϕ
(
n
m
)
p
=
ϕ
(
n
p
m
p
)
=
ϕ
n
p
ϕ
m
p
=
F
(
ϕ
n
)
F
(
ϕ
m
)
{\displaystyle =\phi _{(nm)^{p}}=\phi _{(n^{p}m^{p})}=\phi _{n^{p}}\phi _{m^{p}}={\mathcal {F}}(\phi _{n}){\mathcal {F}}(\phi _{m})}
zijn er andere????
Voor
y
2
=
x
3
+
1
{\displaystyle y^{2}=x^{3}+1}
(
x
,
y
)
+
(
x
′
,
y
′
)
=
(
X
(
x
,
y
,
x
′
,
y
′
)
,
Y
(
x
,
y
,
x
′
,
y
′
)
)
{\displaystyle (x,y)+(x',y')=(X(x,y,x',y'),Y(x,y,x',y'))}
where
X
=
x
2
x
′
+
x
x
′
2
−
y
y
′
+
2
(
x
′
−
x
)
2
{\displaystyle X={\frac {x^{2}x'+xx'^{2}-yy'+2}{(x'-x)^{2}}}}
en
Y
=
(
3
x
+
x
′
)
x
′
2
y
−
(
x
+
3
x
′
)
x
2
y
′
−
4
(
y
′
−
y
)
(
x
′
−
x
)
3
{\displaystyle Y={\frac {(3x+x')x'^{2}y-(x+3x')x^{2}y'-4(y'-y)}{(x'-x)^{3}}}}
Observe that
Y
2
=
X
3
+
1
{\displaystyle Y^{2}=X^{3}+1}
d
y
d
x
=
3
x
2
2
y
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}={\frac {3x^{2}}{2y}}}
eenvoudiger met
R
=
y
1
−
y
0
x
1
−
x
0
{\displaystyle R={\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}}
X
=
R
2
−
(
x
1
+
x
0
)
{\displaystyle X=R^{2}-(x_{1}+x_{0})}
Y
−
y
¯
=
R
(
X
−
x
¯
)
{\displaystyle Y-{\bar {y}}=R(X-{\bar {x}})}
afleiding
y
0
2
=
x
0
3
+
1
{\displaystyle y_{0}^{2}=x_{0}^{3}+1}
y
1
2
=
x
1
3
+
1
{\displaystyle y_{1}^{2}=x_{1}^{3}+1}
Y
2
=
X
3
+
1
{\displaystyle Y^{2}=X^{3}+1}
Y
−
y
0
X
−
x
0
=
Y
−
y
1
X
−
x
1
=
y
1
−
y
0
x
1
−
x
0
{\displaystyle {\frac {Y-y_{0}}{X-x_{0}}}={\frac {Y-y_{1}}{X-x_{1}}}={\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}}
Y
=
y
1
−
y
0
x
1
−
x
0
(
X
−
x
0
)
+
y
0
{\displaystyle Y={\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}(X-x_{0})+y_{0}}
Y
2
=
(
y
1
−
y
0
x
1
−
x
0
(
X
−
x
0
)
+
y
0
)
2
=
{\displaystyle Y^{2}=\left({\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}(X-x_{0})+y_{0}\right)^{2}=}
=
(
y
1
−
y
0
x
1
−
x
0
(
X
−
x
0
)
)
2
+
x
0
3
+
1
+
2
y
1
−
y
0
x
1
−
x
0
(
X
−
x
0
)
y
0
=
{\displaystyle =\left({\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}(X-x_{0})\right)^{2}+x_{0}^{3}+1+2{\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}(X-x_{0})y_{0}=}
X
3
+
1
=
(
y
1
−
y
0
x
1
−
x
0
(
X
−
x
0
)
)
2
+
x
0
3
+
1
+
2
y
1
−
y
0
x
1
−
x
0
(
X
−
x
0
)
y
0
=
{\displaystyle X^{3}+1=\left({\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}(X-x_{0})\right)^{2}+x_{0}^{3}+1+2{\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}(X-x_{0})y_{0}=}
X
3
−
x
0
3
=
(
y
1
−
y
0
x
1
−
x
0
(
X
−
x
0
)
)
2
+
2
y
1
−
y
0
x
1
−
x
0
(
X
−
x
0
)
y
0
=
{\displaystyle X^{3}-x_{0}^{3}=\left({\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}(X-x_{0})\right)^{2}+2{\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}(X-x_{0})y_{0}=}
X
2
+
X
x
0
+
x
0
2
=
(
y
1
−
y
0
x
1
−
x
0
)
2
(
X
−
x
0
)
+
2
y
1
−
y
0
x
1
−
x
0
y
0
=
{\displaystyle X^{2}+Xx_{0}+x_{0}^{2}=\left({\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}\right)^{2}(X-x_{0})+2{\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}y_{0}=}
X
2
+
X
x
0
+
x
0
2
=
y
1
−
y
0
x
1
−
x
0
Y
−
y
0
X
−
x
0
(
X
−
x
0
)
+
2
y
1
−
y
0
x
1
−
x
0
y
0
=
{\displaystyle X^{2}+Xx_{0}+x_{0}^{2}={\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}{\frac {Y-y_{0}}{X-x_{0}}}(X-x_{0})+2{\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}y_{0}=}
X
2
+
X
x
0
+
x
0
2
=
y
1
−
y
0
x
1
−
x
0
(
Y
−
y
0
)
+
2
y
1
−
y
0
x
1
−
x
0
y
0
=
{\displaystyle X^{2}+Xx_{0}+x_{0}^{2}={\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}(Y-y_{0})+2{\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}y_{0}=}
X
2
+
X
x
0
+
x
0
2
=
y
1
−
y
0
x
1
−
x
0
(
Y
+
y
0
)
{\displaystyle X^{2}+Xx_{0}+x_{0}^{2}={\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}(Y+y_{0})}
X
2
+
X
x
0
+
x
0
2
=
y
1
2
−
y
0
2
x
1
−
x
0
(
Y
+
y
0
)
y
1
+
y
0
{\displaystyle X^{2}+Xx_{0}+x_{0}^{2}={\frac {y_{1}^{2}-y_{0}^{2}}{x_{1}-x_{0}}}{\frac {(Y+y_{0})}{y_{1}+y_{0}}}}
X
2
+
X
x
1
+
x
1
2
=
y
1
2
−
y
0
2
x
1
−
x
0
(
Y
+
y
1
)
y
1
+
y
0
{\displaystyle X^{2}+Xx_{1}+x_{1}^{2}={\frac {y_{1}^{2}-y_{0}^{2}}{x_{1}-x_{0}}}{\frac {(Y+y_{1})}{y_{1}+y_{0}}}}
aftrekken
X
(
x
1
−
x
0
)
+
x
1
2
−
x
0
2
=
y
1
2
−
y
0
2
x
1
−
x
0
(
y
1
−
y
0
)
y
1
+
y
0
{\displaystyle X(x_{1}-x_{0})+x_{1}^{2}-x_{0}^{2}={\frac {y_{1}^{2}-y_{0}^{2}}{x_{1}-x_{0}}}{\frac {(y_{1}-y_{0})}{y_{1}+y_{0}}}}
X
=
(
y
1
−
y
0
)
2
(
x
1
−
x
0
)
2
−
(
x
1
+
x
0
)
{\displaystyle X={\frac {(y_{1}-y_{0})^{2}}{(x_{1}-x_{0})^{2}}}-(x_{1}+x_{0})}
X
=
(
y
1
2
−
2
y
1
y
0
+
y
0
2
)
(
x
1
−
x
0
)
2
−
(
x
1
+
x
0
)
{\displaystyle X={\frac {(y_{1}^{2}-2y_{1}y_{0}+y_{0}^{2})}{(x_{1}-x_{0})^{2}}}-(x_{1}+x_{0})}
X
=
x
1
3
−
2
y
1
y
0
+
x
0
3
+
2
−
(
x
1
+
x
0
)
(
x
1
−
x
0
)
2
(
x
1
−
x
0
)
2
{\displaystyle X={\frac {x_{1}^{3}-2y_{1}y_{0}+x_{0}^{3}+2-(x_{1}+x_{0})(x_{1}-x_{0})^{2}}{(x_{1}-x_{0})^{2}}}}
X
=
x
1
3
−
2
y
1
y
0
+
x
0
3
+
2
−
(
x
1
2
−
x
0
2
)
(
x
1
−
x
0
)
(
x
1
−
x
0
)
2
{\displaystyle X={\frac {x_{1}^{3}-2y_{1}y_{0}+x_{0}^{3}+2-(x_{1}^{2}-x_{0}^{2})(x_{1}-x_{0})}{(x_{1}-x_{0})^{2}}}}
X
=
−
2
y
1
y
0
+
2
+
x
1
2
x
0
+
x
0
2
x
1
(
x
1
−
x
0
)
2
{\displaystyle X={\frac {-2y_{1}y_{0}+2+x_{1}^{2}x_{0}+x_{0}^{2}x_{1}}{(x_{1}-x_{0})^{2}}}}
Y
=
y
1
−
y
0
x
1
−
x
0
(
X
−
x
0
)
+
y
0
{\displaystyle Y={\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}(X-x_{0})+y_{0}}
Y
=
y
1
−
y
0
x
1
−
x
0
(
X
−
x
1
)
+
y
1
{\displaystyle Y={\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}(X-x_{1})+y_{1}}
optellen
2
Y
=
y
1
−
y
0
x
1
−
x
0
(
2
X
−
(
x
1
+
x
0
)
)
+
y
1
+
y
0
{\displaystyle 2Y={\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}(2X-(x_{1}+x_{0}))+y_{1}+y_{0}}
Y
−
y
¯
=
y
1
−
y
0
x
1
−
x
0
(
X
−
x
¯
)
{\displaystyle Y-{\bar {y}}={\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}(X-{\bar {x}})}
Begrippen
ICRS : referentiestelsel tov sterrenSterrentijd = Siderische tijd : uurhoek van het lentepunt; die Zeitintervalle zwischen den Meridiandurchgängen eines Fixsterns (genauer: der Frühlingspunkt) zu messen (siderische Zeit).Sterrendag : tijd die de Aarde nodig heeft om 360 graden om haar as te draaien ten opzichte van het lentepunt; tijd tussen twee culminaties van lentepuntSiderische dag : periode waarin de Aarde een volledige omwenteling (360 graden) om haar as maakt, bepaald door twee op elkaar volgende culminaties van een denkbeeldige, oneindig verre vaste ster; die Zeitspanne zwischen zwei aufeinanderfolgenden Kulminationen eines fiktiven unendlich weit entfernten Fixsterns ohne EigenbewegungSiderisch jaar : tijdsduur waarin de Aarde eenmaal zijn baan om de Zon doorloopt gerekend ten opzichte van de vaste sterren; Ein Sternenjahr oder siderisches Jahr (zu lateinisch sidus, Genitiv sideris ‚Stern‘) ist die Zeitspanne, die vergeht, bis die Sonne von der Erde aus gesehen die gleiche Stellung am Himmel in Bezug auf einen fiktiven unendlich weit entfernten Fixstern ohne Eigenbewegung einnimmt.Siderische maand tijd waarin de maan een volledige omloop om de aarde volbrengt ten opzichte van de vaste sterren.Siderische periode tijd van een volledige omwenteling of een volledige omloop van een hemellichaam tov vaste sterrenSynodische periode Tropisch jaar : gemiddelde tijdsduur van een omwenteling van de zon tov lentepunt
N
,
n
=
1
+
N
{\displaystyle N,n=1+N}
nominaal betekent genoemd, in naam maar niet In werkelijkheid, dus de rentevoet die in de akte genoemd wordt.
R
,
r
=
1
+
R
{\displaystyle R,r=1+R}
E
,
e
=
1
+
E
{\displaystyle E,e=1+E}
I
,
i
=
1
+
i
{\displaystyle I,i=1+i}
t
{\displaystyle t}
M
t
=
N
t
,
m
t
=
1
+
M
t
{\displaystyle M_{t}={\frac {N}{t}},m_{t}=1+M_{t}}
K
,
k
=
1
−
K
{\displaystyle K,k=1-K}
B
{\displaystyle B}
zonder inflatie en kosten
(
1
+
N
t
)
t
=
m
t
t
=
1
+
R
=
r
{\displaystyle \left(1+{\frac {N}{t}}\right)^{t}=m_{t}^{t}=1+R=r}
(
1
+
N
t
)
t
=
1
+
E
{\displaystyle \left(1+{\frac {N}{t}}\right)^{t}=1+E}
met inflatie, zonder kosten
(
1
+
E
)
=
e
=
(
1
+
R
)
(
1
+
I
)
=
r
⋅
i
{\displaystyle (1+E)=e=(1+R)(1+I)=r\cdot i}
(
1
+
N
)
=
n
=
(
1
+
R
)
(
1
+
I
)
=
r
⋅
i
{\displaystyle (1+N)=n=(1+R)(1+I)=r\cdot i}
met inflatie en kosten
(
1
+
E
)
=
e
=
(
1
+
R
)
(
1
+
I
)
/
(
1
−
K
)
=
r
⋅
i
/
k
{\displaystyle (1+E)=e=(1+R)(1+I)/(1-K)=r\cdot i/k}
Een Frans arts, een Duits smid, een Fries boer, een Noors boerin, een Russisch kok?????
brug
klapbrug, klepbrug, wipbrug?, flapbrug?
valbrug
ophaalbrug
basculebrug
oorgatbrug
draaibrug
...
∫
O
{\displaystyle \int \!\!\!\!\!\!{\text{O}}}
∫
O
{\displaystyle \int \!\!\!\!\!\!\mathbf {\text{O}} }
∫
⊙
{\displaystyle \int \!\!\!\!\!\!\odot }
∫
{\displaystyle \int }
∫
0
1
{\displaystyle \int _{0}^{1}}
∫
0
1
{\displaystyle \int \limits _{0}^{1}}
∮
{\displaystyle \oint }
∮
C
{\displaystyle \oint _{C}}
∮
C
{\displaystyle \oint \limits _{C}}
∮
(
x
z
k
(
x
)
)
{\displaystyle \oint {\Big (}{\frac {\frac {x}{z}}{k(x)}}{\Big )}}
∮
∫
{\displaystyle \oint \int }
∮
∫
{\displaystyle {}\oint \int }
∮
x
4
{\displaystyle \oint x^{4}}
∮
4
{\displaystyle \oint {}^{4}}
∮
∮
{\displaystyle \oint \oint }
∫
∮
{\displaystyle \int \oint }
∫
∫
{\displaystyle \int \int }
∬
{\displaystyle \iint }
∯
{\displaystyle \oiint }
Trek achtereenvolgens een van de objecten X3Q@ uit de vaas.
aanwezig
aantal
trekking
over
aantal
getrokken
aantal
X3Q@
4
3
XQ@
3
3
1
XQ@
3
X
Q@
2
X3
2
Q@
2
@
Q
1
@X3
3
Q
1
Q
0
Q@X3
4
0
0
Q@X3
4
Wanneer alle 4 objecten getrokken zijn, stopt het.
Met genummerde briefjes
aanwezig
aantal
trekking
over
aantal
getrokken
aantal
6789
4
9
678
3
9
1
678
3
8
67
2
89
2
67
2
7
1
1
789
3
6
1
6
0
6789
4
0
?
6789
4
Ook nu houdt het op, al doen de nummers denken dat je verder zou kunnen gaan en vragen naar briefje 5.
Met genummerde briefjes 1234
aanwezig
aantal
trekking
over
aantal
getrokken
aantal
1234
4
4
123
3
4
1
123
3
3
12
2
43
2
12
2
2
1
1
432
3
1
1
1
0
4321
4
0
?
4321
4
Natuurlijk eindigt dit ook hier, maar met appels.
aanwezig
aantal
trekking
over
aantal
getrokken
aantal
4
3
1
3
2
2
2
1
3
1
0
4
0
?
?
Zou je nog meer appels kunnen pakken? Je hebt er 5 nodig: leen een appel. Of voor 6, leen er 2.
aanwezig
aantal
trekking
over
aantal
getrokken
aantal
4
3
1
3
2
2
2
1
3
1
0
4
0
-1
5
-1
-2
6
Plak een sticker met een nummer op de appels (analogie met briefjes 1234).
aanwezig
aantal
trekking
over
aantal
getrokken
aantal
1 2 3 4
4
4
1 2 3
3
4
1
1 2 3
3
3
1 2
2
3 4
2
1 2
2
2
1
1
2 3 4
3
1
1
1
0
1 2 3 4
4
1 x 0
x
1 -1
x 1 2 3 4
5
1 2 y -1
y
1 2 -2
y x 1 2 3 4
6
Wat te doen met x en y?
Als appels genummerd zijn, met nummer 1 na een zeker punt (|).
....-2 -1 0 | 1 2 3 4 .... of
....-3 -2 -1 | 1 2 3 4 .... In beide gevallen is het eerste viertal
1 2 3 4 en het eerste tiental
1 2 3 ...10 Het eerste tiental met nummers x0,x1,...,x9 is het tiental met x=1:
10 11 21 ...19 Tijdsperioden
2e jaar v. geb
1e jaar v. geb
geboortejaar
1e jaar n. geb
2e jaar n. geb
3e jaar n. geb
(jaar -2?)
(jaar -1?)
(jaar 0?)
jaar 1
jaar 2
jaar 3
1e levensjaar
2e levensjaar
3e levensjaar
(leeftijd -2)
(leeftijd -1)
leeftijd 0
leeftijd 1
leeftijd 2
tijd sinds geboorte
-----------------|-------------------|--------------------|--------------------|---------------
Wat als het nulpunt, de geboorte, precies op een jaarovergang ligt?
3e jaar v. geb
2e jaar v. geb
1e jaar v. geb
1e jaar n. geb
2e jaar n. geb
3e jaar n. geb
(jaar -3/-2?)
(jaar -2/-1?)
(jaar -1/0?)
jaar 1
jaar 2
jaar 3
1e levensjaar
2e levensjaar
3e levensjaar
(leeftijd -2)
(leeftijd -1)
leeftijd 0
leeftijd 1
leeftijd 2
Hoe is dat in onze jaartelling?
Het veronderstelde jaar van de geboorte van Chr. wordt het jaar 1 genoemd, zelfs 1 na Chr., hoewel het begon vóór zijn veronderstelde geboorte!
Ik ben geboren op 1982-08-13.
=
]
a
,
b
[
=
{\displaystyle ={\mathopen {]}}a,b{\mathclose {[}}=}
=
]
a
,
b
[
=
{\displaystyle =]a,b[=}
groepen
G
,
H
{\displaystyle G,H}
homomorfisme
h
:
G
→
H
{\displaystyle h:G\to H}
vectorruimte
V
{\displaystyle V}
stel
H
=
L
i
n
(
V
)
∘
{\displaystyle H=Lin(V)^{\circ }}
is voor elke
G
{\displaystyle G}
dan voor
x
,
y
∈
G
{\displaystyle x,y\in G}
h
(
x
y
)
=
h
(
x
)
∘
h
(
y
)
{\displaystyle h(xy)=h(x)\circ h(y)}
h
(
e
)
=
h
(
e
e
)
=
h
(
e
)
∘
h
(
e
)
=
I
{\displaystyle h(e)=h(ee)=h(e)\circ h(e)=I}
h
(
e
)
=
h
(
x
x
−
1
)
=
h
(
x
)
∘
h
(
x
−
1
)
=
I
{\displaystyle h(e)=h(xx^{-1})=h(x)\circ h(x^{-1})=I}
dus
h
(
x
−
1
)
=
(
h
(
x
)
)
−
1
{\displaystyle h(x^{-1})=(h(x))^{-1}}
x
y
=
a
b
⇒
h
(
x
y
)
=
h
(
x
)
∘
h
(
y
)
=
h
(
a
b
)
=
h
(
a
)
∘
h
(
b
)
{\displaystyle xy=ab\Rightarrow h(xy)=h(x)\circ h(y)=h(ab)=h(a)\circ h(b)}
a
=
x
z
,
b
=
z
−
1
y
⇒
h
(
x
y
)
=
h
(
x
)
∘
h
(
y
)
=
h
(
a
b
)
=
h
(
x
z
)
∘
h
(
z
−
1
y
)
{\displaystyle a=xz,b=z^{-1}y\Rightarrow h(xy)=h(x)\circ h(y)=h(ab)=h(xz)\circ h(z^{-1}y)}
In een driedimensionale euclidische ruimte is een cartesisch assenstelsel gegeven met de eenheidsvectoren
e
x
→
,
e
y
→
,
e
z
→
{\displaystyle {\vec {e_{x}}},\ {\vec {e_{y}}},\ {\vec {e_{z}}}}
P
{\displaystyle P}
x
,
y
{\displaystyle x,y}
z
{\displaystyle z}
r
→
=
O
P
→
{\displaystyle {\vec {r}}={\vec {OP}}}
r
→
=
x
e
x
→
+
y
e
y
→
+
z
e
z
→
=
r
→
x
+
r
→
y
+
r
→
z
{\displaystyle {\vec {r}}=x{\vec {e_{x}}}+y{\vec {e_{y}}}+z{\vec {e_{z}}}={\vec {r}}_{x}+{\vec {r}}_{y}+{\vec {r}}_{z}}
Daarin zijn
r
→
x
=
x
e
x
→
{\displaystyle {\vec {r}}_{x}=x{\vec {e_{x}}}}
r
→
y
=
y
e
y
→
{\displaystyle {\vec {r}}_{y}=y{\vec {e_{y}}}}
r
→
z
=
z
e
z
→
{\displaystyle {\vec {r}}_{z}=z{\vec {e_{z}}}}
r
→
{\displaystyle {\vec {r}}}
Het is niet correct te schrijven:
r
→
=
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle {\vec {r}}=(x,y,z)}
of
P
=
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle P=(x,y,z)}
Ook is
O
P
→
{\displaystyle {\vec {OP}}}
P
{\displaystyle P}
Het punt is dat de eenheidsvectoren
e
x
→
,
e
y
→
,
e
z
→
{\displaystyle {\vec {e_{x}}},\ {\vec {e_{y}}},\ {\vec {e_{z}}}}
E
{\displaystyle E}
Wat is eigenlijk een coördinatenstelsel?
Een euclidische ruimte
E
{\displaystyle E}
O
{\displaystyle O}
e
1
,
e
2
,
…
,
e
n
{\displaystyle e_{1},\ e_{2},\ldots ,\ e_{n}}
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
In de rijtjesruimte
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
v
=
(
1
,
2
,
8
)
{\displaystyle v=(1,2,8)}
v
=
v
x
e
x
→
+
v
y
e
y
→
+
v
z
e
z
→
{\displaystyle v=v_{x}{\vec {e_{x}}}+v_{y}{\vec {e_{y}}}+v_{z}{\vec {e_{z}}}}
met
e
x
→
=
(
1
,
0
,
0
)
,
e
y
→
=
(
0
,
1
,
0
)
,
e
z
→
=
(
0
,
0
,
1
)
{\displaystyle {\vec {e_{x}}}=(1,0,0),\ {\vec {e_{y}}}=(0,1,0),\ {\vec {e_{z}}}=(0,0,1)}
termen
ware waarde
fout = afwijking
systematische fout
toevallige fout meting van ware waarde
μ
0
{\displaystyle \mu _{0}}
uitkomst
i
{\displaystyle i}
X
i
=
μ
+
U
i
=
μ
0
+
Δ
μ
+
U
i
{\displaystyle X_{i}=\mu +U_{i}=\mu _{0}+\Delta \mu +U_{i}}
met toevallige fout
U
i
{\displaystyle U_{i}}
waarvoor geldt
E
U
i
=
0
{\displaystyle \operatorname {E} U_{i}=0}
en systematische fout
Δ
μ
{\displaystyle \Delta \mu }
E
(
X
−
μ
0
)
2
=
E
(
X
−
μ
+
μ
−
μ
0
)
2
=
{\displaystyle E(X-\mu _{0})^{2}=E(X-\mu +\mu -\mu _{0})^{2}=}
=
E
(
X
−
μ
)
2
+
(
μ
−
μ
0
)
2
=
v
a
r
(
X
)
+
b
i
a
s
2
{\displaystyle =E(X-\mu )^{2}+(\mu -\mu _{0})^{2}=\mathrm {var} (X)+\mathrm {bias} ^{2}}
nauwkeurigheid = accuratesse = samengaan van precisie en juistheid = maat voor de fout
juistheid = systematische fout
precisie = toevallige fout = geldigheid = validiteit
reproduceerbaarheid =
herhaalbaarheid = precisie?
betrouwbaarheid = precisie
stabiliteit
kogel zinkt in vloeistof
voor
−
1
2
π
<
α
<
1
2
π
{\displaystyle -{\tfrac {1}{2}}\pi <\alpha <{\tfrac {1}{2}}\pi }
is de kracht langs de voerstraal vanuit middelpunt naar een punt van de kogel
F
(
α
)
=
η
d
v
(
α
)
d
r
{\displaystyle F(\alpha )=\eta {\frac {\mathrm {d} v(\alpha )}{\mathrm {d} r}}}
Alleen de verticale z-component is van belang:
F
z
(
α
)
=
F
(
α
)
cos
(
α
)
{\displaystyle F_{z}(\alpha )=F(\alpha )\cos(\alpha )}
Totaal
F
z
=
η
∬
cos
(
α
)
d
v
(
α
)
d
r
d
θ
d
α
=
{\displaystyle F_{z}=\eta \iint \cos(\alpha ){\frac {\mathrm {d} v(\alpha )}{\mathrm {d} r}}\,\mathrm {d} \theta \mathrm {d} \alpha =}
=
2
η
⋅
2
π
r
∫
0
π
/
2
cos
2
(
α
)
d
v
(
α
)
d
r
d
α
{\displaystyle =2\eta \cdot 2\pi r\int _{0}^{\pi /2}\cos ^{2}(\alpha ){\frac {\mathrm {d} v(\alpha )}{\mathrm {d} r}}\,\mathrm {d} \alpha }
Neerwaarts (volume V):
F
=
V
(
ρ
K
−
ρ
f
l
)
g
{\displaystyle F=V(\rho _{K}-\rho _{fl})g}
Evenwicht
F
z
=
F
{\displaystyle F_{z}=F}
![{\displaystyle [0,\pi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e2a912eda6ef1afe46a81b518fe9da64a832751)
![{\displaystyle x:[0,\pi ]\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9f92b56b6aa3980cc5f6771e0a4cbd11fcb9e76)
![{\displaystyle F_{X}(x)=P(X\leq x)=P_{X}((-\infty ,x])=\int _{-\infty }^{x}g(t)\,\mathrm {d} t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c63e585af092dd8aa43d28cc855abdebc9691f2b)
![{\displaystyle [-1,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51e3b7f14a6f70e614728c583409a0b9a8b9de01)
![{\displaystyle ={\mathopen {]}}a,b{\mathclose {[}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2036bf761581da99bc127a607548e059c92f66a)
![{\displaystyle =]a,b[=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47442bcc8d03ef6e348b77fa1360f68c98f55158)
