Gebruiker:Daaf Spijker/Kladblok/Formules

1/7

${\frac {1}{7}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {7\cdot 2^{n}}{100^{n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }7\cdot 50^{-n}$

Nu is de breuk ${\tfrac {1}{7}}$ ook te schrijven als:

${\frac {1}{7}}={\frac {7}{49}}={\frac {\frac {7}{50}}{\frac {49}{50}}}={\frac {\frac {7}{50}}{1-{\frac {1}{50}}}}$

Met $a={\tfrac {7}{50}}$ en $r={\tfrac {1}{50}}$ is dan:

${\frac {1}{7}}={\frac {a}{1-r}}$

Het rechterlid is de somformule voor convergente meetkundige rijen met beginterm $a$ en factor (reden) $r$. Daarmee blijkt:

${\frac {1}{7}}={\frac {7}{50}}+{\frac {7}{50^{2}}}+{\frac {7}{50^{3}}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {7}{50^{n}}}$

Of ook:

${\frac {1}{7}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {7\cdot 2^{n}}{100^{n}}}={\frac {14}{100}}+{\frac {28}{100^{2}}}+{\frac {56}{100^{3}}}+\cdots$

== repetendums in OEiS

Plus klein

${\scriptstyle +}\infty$

$b{\stackrel {+}{a}}b$

Parser

{{#expr: -3^2}} = 9

{{#expr: (-1)*3^2}} = -9

{{#expr: -(3^2)}} = -9

Parasieten

n	kleinste n-parasitisch getal	aantal cijfers
1	1	1
2	105.263.157.894.736.842	18
3	1.034.482.758.620.689.655.172.413.793	28
4	102.564	6
5	142.857	6
6	1016.949152.542372.881355.932203.389830.508474.576271.186440.677966	58
7	1.014.492.753.623.188.405.797	22
8	1.012.658.227.848	13
9	10.112359.550561.797752.808988.764044.943820.224719	44

Breuk

${\frac {3}{41}}$, gevolgd door ${\tfrac {3}{41}}$

en inline ³⁄₄₁ een diagonaalbreuk

en daarin past natuurlijk math: ^$3$⁄_$41$

kijk eens ${}^{3}/_{5}$, maar deze vind ik ook wat groot

en dan ook de te grote ${\cfrac {1}{2}}$ voor kettingbreuk; vergelijk ${\frac {1}{2}}$

kettingbreuk $a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {2}{a_{3}+{\cfrac {3}{a_{4}}}}}}}$

$a{\Big /}b$

$\int _{a}^{b}xdx$ :: $\int _{a}^{b}{\frac {\frac {1}{2}}{\frac {\ln({\frac {x}{y}})}{2}}}\,{\text{d}}x$

Oneindig product

${\begin{aligned}\prod _{n=2}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{n^{2}}}\right)&={\frac {3}{4}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdot {\frac {15}{16}}\cdot {\frac {24}{25}}\cdot \ \cdots =\prod _{n=2}^{\infty }{\frac {(n-1)(n+1)}{n^{2}}}\\&=\lim _{N\to \infty }\left(\prod _{n=2}^{N}{\frac {n-1}{n}}\cdot \prod _{n=2}^{N}{\frac {n+1}{n}}\right)\\&=\lim _{N\to \infty }\left(\left\{{{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {3}{4}}\cdot \ \cdots \ \cdot {\frac {N-2}{N-1}}\cdot {\frac {N-1}{N}}}\right\}\cdot \left\{{{\frac {3}{2}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {5}{4}}\cdot \ \cdots \ \cdot {\frac {N}{N-1}}\cdot {\frac {N+1}{N}}}\right\}\right)\\&=\lim _{N\to \infty }\left({\frac {1}{N}}\cdot {\frac {N+1}{2}}\right)\\&=\lim _{N\to \infty }{\frac {N+1}{2N}}\\&={\frac {1}{2}}\end{aligned}}$

Addendum - Rij (wiskunde)

Opmerking. Als in de context direct duidelijk is dat er sprake is van rijen, dan wordt een rij $(a_{n})_{n=1}^{\infty }$ vaak zonder haakjes genoteerd. Dus als:

$a_{1},a_{2},a_{3},\dots$

Dit is ook het geval in teksten die gebruikt worden in het voortgezet c.q. secundair onderwijs. Ook wordt hier wel een notatie/definitie gebruikt met behulp een functie op de natuurlijke (of op de gehele) getallen:

$a_{n}=f(n),\quad {\text{met }}n=1,2,\dots$

Het functievoorschrift van $f$ wordt dan ook wel de directe formule van $(a_{n})$ genoemd. Bij grafische rekenmachines hebben rijen meestal de namen $u,v,w$. Voorbeelden, voor $n=1,2,3,\dots$ :

$u_{n}=5n-3n^{2}$

$v_{n}=100\cdot 1{,}05^{n-1}$

---

Als een rij niet convergeert dan divergeert hij. Voor een divergente rij zijn er de volgende mogelijkheden.

Als de rij uit reële getallen bestaat

• De elementen van de rij worden onbeperkt groot en convergeren derhalve niet naar een bepaalde waarde.
  • Bijvoorbeeld: $1,2,3,4,5,6,7,\ldots$ ; dus $a_{n}=n\quad (n=1,2,\ldots )$.
    • De rij is divergent naar oneindig.
• De elementen van de rij worden onbeperkt kleiner, zonder naar een bepaalde waarde te convergeren.
  • Bijvoorbeeld: $-1,-2,-4,-8,-16,-32,\ldots$ ; dus $a_{n}=-2^{n}\quad (n=0,1,\ldots )$.
    • De rij divergeert nu naar min oneindig.
• De rij gaat niet naar oneindig, en niet naar min oneindig.
  • Bijvoorbeeld: $1,-1,1,-1,1,-1,\ldots$ ; dus $a_{n}=(-1)^{n}\quad (n=0,1,\ldots )$.
    • Nu is er simpelweg sprake van een rij die divergeert.

Als de rij uit elementen van een willekeurige metrische ruimte $V$ bestaat

• De rij is geen cauchyrij, de rij divergeert.
• De rij is een cauchyrij, maar de elementen van de rij naderen naar een buiten $V$ gelegen waarde. De rij heeft geen limiet in $V$.
  • Bijvoorbeeld: $V$ is het reële interval $(0,\infty )$ en de rij is $1,{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{4}},\ldots$.

---

MOOI

$P={{{\rm {booglengte}}(EOD)} \over {|FR|}}={\textstyle {1 \over p}}\int _{-\,t}^{t}{{\sqrt {1+{{({\textstyle {{dy} \over {dx}}})}^{2}}}}dx}$

Application

The average distance from a point randomly selected in the unit square to its center is

$d_{\text{avg}}={P \over 6}.$

Proof.

${\begin{aligned}d_{\text{avg}}&:=8\int _{0}^{1 \over 2}\int _{0}^{x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\,dy\,dx\\&=8\int _{0}^{1 \over 2}{1 \over 2}x^{2}(\ln(1+{\sqrt {2}})+{\sqrt {2}})\,dx\\&=4P\int _{0}^{1 \over 2}x^{2}\,dx\\&={P \over 6}.\end{aligned}}$

Sigma met "hat"

${{\hat {\sigma }}^{2}}={\tfrac {1}{n}}\sum \nolimits _{i=1}^{n}{{({{x}_{i}}-{\hat {\mu }})}^{2}}$

Uniforme notatie

Het kan geen kwaad ook de notatie van formules te uniformeren. Zo zie ik dat:

• $\cong$ wordt gebruikt voor "is evenredig met", terwijl op de pagina Tilde staat dat $\sim$ gebruikelijk is;
• binnen formules de ene keer witruimte tussen symbolen is aangebracht, en de andere keer niet;
• binnen formules de ene keer $\times$ en de andere keer $\cdot$ als vermenigvuldigingsoperator wordt gebruikt;
• tiendelige breuken de ene keer met een komma gevolgd door wit en de andere keer zonder volgend wit worden geschreven; bijv $3,14$ versus $3{,}14$ ;
• de ene keer een subscript wordt weer gegeven in "normaal" TimesRoman en de andere keer als cursief; dus $P_{\rm {normaal}}$ versus $P_{normaal}$.

_ DaafSpijker _overleg 19 nov 2019 19:51 (CET)

Meervoudig nulpunt

Een nulpunt $a$ van een polynoom $f$ in $x$ heet meervoudig nulpunt als $f$ deelbaar is door meer dan één factor $x-a$.

Voorbeeld. Gegeven is de polynoom $f$ van de 6e-graad in $z$ (met $z\in \mathbb {C}$):

$f(z)=z^{6}+7z^{4}+11z^{2}+5$

Voor $z=\pm i$ (dus voor $z^{2}=-1$) is dan:

$f(\pm i)=-1+7-11+5t=0$

en daaruit volgt na staartdeling dat:

$f(z)=(z^{2}+1)(z^{4}+6z^{2}+5)$

Verder is:

$f(z)=(z^{2}+1)^{2}(z^{2}+5)=(z-i)^{2}(z+i)^{2}(z-i\surd {5})(z+i\surd {5})$

De polynoom heeft dus twee nulpunten met multipliciteit $2$ en twee nulpunten met multipliciteit $1$, hetgeen overeenkomt met de graad $6\,(=2\times 2+2\times 1)$ van de polynoom.

Nummering

En dan staat hier een genummerde formule:

$(1)\dots \quad p=x^{2}-3x$

en vervolgens:

$(2)\dots \quad \mathbf {n} \cdot \mathbf {x} =|\mathbf {n} |\,|\mathbf {x} |\,\cos \varphi$