Gram-schmidtmethode

Methode om een verzameling lineair onafhankelijke objecten in een Euclidische ruimte met inwendig product tot een orthonormale verzameling om te zetten.
(Doorverwezen vanaf GS-procedé)

De gram-schmidtmethode is een algoritme waarmee men een orthogonaal stelsel maakt van een verzameling lineair onafhankelijke vectoren in een vectorruimte voorzien van een inproduct, door van elke volgende vector de component te bepalen die orthogonaal is met alle vorige met betrekking tot dat inproduct. Die component verkrijgt men als het verschil met de projectie op de deelruimte die wordt voortgebracht door de vorige vectoren. Door elke vector vervolgens nog eens te normeren, verkrijgt men een orthonormaal stelsel vectoren.

De eerste twee stappen van de gram-schmidtmethode

De methode is vernoemd naar Jørgen Pedersen Gram en Erhard Schmidt, maar is van oudere datum en werd al gevonden door Laplace en Cauchy. In de theorie van Lie-groepen is de methode gegeneraliseerd door Kenkichi Iwasawa.

MethodeBewerken

In een vectorruimte met inproduct   zijn de lineair onafhankelijke vectoren   gegeven. De gram-schmidtmethode berekent de orthogonale vectoren   (in dit artikel normeren we ze achteraf niet) met dezelfde span als volgt. Als startvector nemen we de eerste gegeven vector gewoon over:

 .

Vervolgens geldt voor  :

 .

In woorden is   dus gelijk aan   waarvan eerst alle componenten zijn afgetrokken die volgens de reeds geconstrueerde orthogonale vectoren stonden. De formule toont zo ook dat de projectie van   op de ruimte opgespannen door die vectoren   de som van de afzonderlijke projecties

 

is. Dat is alleen correct als   onderling orthogonaal zijn, omdat de projecties anders met elkaar interfereren en er te veel van   wordt afgetrokken.

Voorbeeld 1Bewerken

De drie vectoren

 ,

in   met het gewone inproduct, zijn lineair onafhankelijk en spannen een driedimensionale deelruimte op. In deze deelruimte kan met de gram-schmidtmethode uit de drie gegeven vectoren een orthogonale basis   bepaald worden.

 
 
 
 

Eenvoudig is na te gaan dat:

 

Voorbeeld 2Bewerken

In de tweedimensionale reële vectorruimte van lineaire functies   op het interval [0,1], met inwendig product (zie het voorbeeld van een tweedimensionale functieruimte)

 

wordt de basis bestaande uit   en   met de gram-schmidtmethode tot een orthonormaal stelsel   gemaakt. Om te beginnen is

 .

De component   van   loodrecht op   is

 

Normering van   geeft

 .