Dirichlet-energie

In de wiskunde is de Dirichlet-energie een maat voor de "variatie" van een functie. Meer abstract is het een kwadratische functionaal op de Sobolev-ruimte $H^{1}$. De Dirichlet-energie is nauw verbonden met de Laplace-vergelijking en is genoemd naar de Duitse wiskundige Johann Dirichlet.

Definitie

Gegeven een open verzameling $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ en een functie $u:\Omega \to \mathbb {R}$, dan is de Dirichlet-energie van u gedefinieerd door

$E[u]={\frac {1}{2}}\int _{\Omega }|\nabla u(x)|^{2}\,\mathrm {d} V,$

Eigenschappen en toepassingen

Aangezien de Dirichlet-energie de integraal is van een niet-negatieve grootheid, is zij zelf ook niet-negatief, d.w.z.

$E[u]\geq 0$

voor elke functie u.

Het oplossen van de Laplace-vergelijking

$\Delta u(x)=0{\text{ vor alle }}x\in \Omega$

(met geschikte randvoorwaarden) is equivalent aan het oplossen van het probleem uit de variatierekening van het vinden van een functie u die aan de randvoorwaarden voldoet en minimale Dirichlet-energie heeft. Zo'n oplossing heet een harmonische functie en deze zijn het onderwerp van studie in de potentiaaltheorie.

Zie ook

• principe van Dirichlet
• Totale variatie

Referenties

• Lawrence C. Evans (1998), Partial Differential Equations. American Mathematical Society. ISBN 978-0821807729.