Totale variatie

In de wiskunde is totale variatie een begrip in zowel de analyse als de maattheorie. Voor een reëelwaardige continue functie op een interval is de totale variatie de afgelegde weg van de projectie op de y-as van een punt dat de grafiek van de functie doorloopt. Voor andere functies wordt dit begrip gegeneraliseerd.

De groene punt beweegt zich over de grafiek van de functie en de afgelegde weg van zijn projectie op de y-as, de rode punt, is de totale variatie van de functie.

Totale variatie van een functie

Definitie

De totale variatie $V(f,a,b)$ van de reêelwaardige functie $f$ gedefinieerd op het interval $[a,b]$ is gedefinieerd als:

$V(f,a,b)=\sup _{P}\sum _{i=0}^{n_{P}-1}|f(x_{i+1})-f(x_{i})|$,

waarin het supremum genomen wordt over alle eindige verdelingen $P(a=x_{0}<x_{1}<\dots <x_{n_{P}}=b)$ van het interval.

Begrensde variatie

Functies waarvan de totale variatie eindig is, heten functies van begrensde variatie. Dergelijke functies kunnen populair gezegd niet willekeurig sterk oscilleren. De eigenschap hangt nauw samen met de eigenschappen continuïteit en integreerbaarheid.

Voorbeelden

Een functie van onbegrensde variatie

1. De betekenis van begrensde variatie wordt het duidelijkst gedemonstreerd door een tegenvoorbeeld. De functie:

$f(x)={\begin{cases}\sin(1/x),&{\text{als }}x\neq 0\\0,&{\text{als }}x=0\end{cases}}$

is op ieder interval waarin 0 bevat is, van onbegrensde variatie. Het is aanschouwelijk duidelijk dat de waarde van $1/x$ voor $x\to 0$ onbegrensd toeneemt, zodat de sinus van deze waarde onbegrensd tussen de waarden −1 en 1 oscilleert.

2. Ook de functie

$g(x)={\begin{cases}x\sin(1/x),&{\text{als }}x\neq 0\\0,&{\text{als }}x=0\end{cases}}$

is van onbegrensde variatie op een interval waarin 0 bevat is, hoewel de variatie enigszins beperkt wordt door de factor $x$.

3. Door de variatie nog verder te beperken, zoals bij de functie

$h(x)={\begin{cases}x^{2}\sin(1/x),&{\text{als }}x\neq 0\\0,&{\text{als }}x=0\end{cases}}$,

blijft de variatie begrensd. De functie $h$ is daarmee van begrensde variatie op ieder interval.

Geschiedenis

Het begrip totale variatie van een functie van een reële variabele werd geïntroduceerd door Camille Jordan in een artikel uit 1881. Jordan gebruikte dit nieuwe begrip om een convergentiestelling te bewijzen voor Fourierreeksen van discontinue periodieke functies van begrensde variatie.

Totale variatie van een maat

Laat μ een getekende maat zijn op de meetbare ruimte $(X,\Sigma )$. Dan zijn er twee niet-negatieve maten $\mu _{+}$ en $\mu _{-}$, gedefinieerd door

$\mu _{+}(A)=\sup\{\mu (E)|E\in \Sigma {\text{ en }}E\subset A\}$

en

$\mu _{-}(A)=-\inf\{\mu (E)|E\in \Sigma {\text{ en }}E\subset A\}$,

zo dat:

$\mu =\mu _{+}-\mu _{-}$

De variatie van μ (ook de absolute variatie geheten) is de functie:

$|\mu |=\mu _{+}+\mu _{-}$

en de totale variatie van $\mu$, aangeduid door $\|\mu \|$, is de waarde van deze functie voor de gehele ruimte:

$\|\mu \|=|\mu |(X)$

Toepassing

Totale variatie kan opgevat worden als een niet-negatieve reëelwaardige functionaal op de ruimte van reëelwaardige functies van één variabele of op de ruimte van integreerbare functies van meerdere variabelen. Als functionaal vindt de totale variatie toepassing in verscheidene takken van wiskunde en technische wetenschappen, zoals numerieke analyse en variatierekening, waar de oplossing van een probleem de waarde van de functionaal moet minimaliseren. Voorbeelden zijn:

Numerieke analyse van differentiaalvergelijking

waarin benaderingen gezocht worden voor oplossingen van differentiaalvergelijkingen

Ruisreductie in beeldbewerking

waarin methoden gebruikt worden om de ruis te reduceren in een beeld dat op elektronische wijze verkregen is. Details kan men vinden in een artikel van Caselles, Chambolle & Novaga (2007).

Noten

Literatuur

• (de) Hahn, Hans, Theorie der reellen Funktionen VII+600. Springer Verlag (1921). Gearchiveerd op 31 december 2008. .
• (it) Vitali, Giuseppe, Sui gruppi di punti e sulle funzioni di variabili reali (Groepen van punten en functies van reële variabelen) 75–92 (1908). Gearchiveerd op 31 maart 2009. . Het artikel bevat het eerste bewijs van de overdekkingsstelling van Vitali.
• M. Denuit and S. Van Bellegem "On the stop-loss and total variation distances between random sums", discussiestukr 0034 of the Statistic Institute of the "Université Catholique de Louvain".
• Tony F. Chan and Jackie (Jianhong) Shen (2005), Image Processing and Analysis - Variational, PDE, Wavelet, and Stochastic Methods, SIAM, ISBN 0-89871-589-X (met een diegaande behandeling en uitgebreide toepassingen van het begrip totale variatie in moderne beeldverwerking, geînitieerd door Rudin, Osher en Fatemi).