Bissectricestelling

De bissectricestelling is een stelling uit de meetkunde die de verhouding geeft van de delen van de zijde tegenover een hoek van een driehoek ten opzichte van de naastliggende zijden van deze driehoek.

In deze schets geldt: BD : DC = AB : AC.

Beschouw een driehoek $ABC$ en laat het punt $D$ het snijpunt van de bissectrice van hoek $A$ en de zijde $BC$ zijn. De bissectricestelling zegt dat de verhouding tussen de lengte van het lijnstuk $BD$ en de lengte van het lijnstuk $DC$ gelijk is aan de verhouding tussen de lengte van de zijde $AB$ en de lengte van de zijde $AC.$ In formule :

${\frac {|AB|}{|AC|}}={\frac {|BD|}{|DC|}}$

De gegeneraliseerde stelling zegt dat in een driehoek $ABC$ voor een punt $D$ op de zijde $BC$ geldt:

${\frac {|BD|}{|DC|}}={\frac {|AB|\,\sin \angle DAB}{|AC|\,\sin \angle DAC}}$

Bewijs

De driehoek uit het bewijs. Hierin is de hoek · recht.

Laat $B_{1}$ het punt zijn waar de loodlijn uit $B$ op $AD$ de lijn $AD$ snijdt en laat $C_{1}$ het punt zijn waar de loodlijn uit $C$ op $AD$ de lijn $AD$ snijdt. Dan zijn de hoeken $DB_{1}B$ en $DC_{1}C$ recht, terwijl de hoeken $B_{1}DB$ en $C_{1}DC$ congruent (overstaand) zijn als $D$ op het lijnsegment $BC$ ligt. Als dit niet het geval is, zijn de hoeken identiek. Dit impliceert dat de driehoeken $DB_{1}B$ en $DC_{1}C$ gelijkvormig zijn, zodat geldt:

${\frac {|BD|}{|CD|}}={\frac {|BB_{1}|}{|CC_{1}|}}={\frac {|AB|\,\sin \angle BAD}{|AC|\,\sin \angle CAD}}$

Is $AD$ de bissectrice van hoek $A,$ dan zijn $\angle BAD$ en $\angle CAD$ aan elkaar gelijk, dus ook de sinussen, waardoor de sinus in de teller en in de noemer van de breuk tegen elkaar weggedeeld kunnen worden.

Geschiedenis

Deze stelling komt al in Boek VI van de Elementen van Euclides voor als « Propositie III ».