Euler-polynoom

In de wiskunde zijn de euler-polynomen de polynomen ${\rm {E}}_{n}$, impliciet gedefinieerd door hun voortbrengende functie:

${\frac {2e^{xt}}{e^{t}+1}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\rm {E}}_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}$

De eerste 7 zijn:

$n$	${\rm {E}}_{n}(x)$
0	$1$
1	$x-{\tfrac {1}{2}}$
2	$x^{2}-x=x(x-1)$
3	$x^{3}-{\tfrac {3}{2}}x^{2}+{\tfrac {1}{4}}=(x-{\tfrac {1}{2}})(x^{2}-x-{\tfrac {1}{2}})$
4	$x^{4}-2x^{3}+x=x(x-1)(x^{2}-x-1)$
5	$x^{5}-{\tfrac {5}{2}}x^{4}+{\tfrac {5}{2}}x^{2}-{\tfrac {1}{2}}=(x-{\tfrac {1}{2}})(x^{2}-x-1)^{2}$
6	$x^{6}-3x^{5}+5x^{3}-3x=x(x-1)(x^{4}-2x^{3}-2x^{2}+3x+3)$

Recursieve definitie

De polynomen kunnen ook recursief gedefinieerd worden door:

${\rm {E}}_{0}(x)=1$

en voor $n=1,2,\ldots$

${\rm {E}}_{2n-1}(x)=\int _{1/2}^{x}(2n-1){\rm {E}}_{2n-2}(t)\,{\rm {d}}t$

${\rm {E}}_{2n}(x)=\int _{0}^{x}2n{\rm {E}}_{2n-1}(t)\,{\rm {d}}t$

Eigenschappen

Euler-polynomen zijn, afgezien van het teken, symmetrisch om het punt ${\tfrac {1}{2}}$, d.w.z.:

${\rm {E}}_{n}({\tfrac {1}{2}}+x)=(-1)^{n}{\rm {E}}_{n}({\tfrac {1}{2}}-x)$

Voor de waarden in de punten $x={\tfrac {1}{2}}$ en $x=0$ geldt:

${\rm {E}}_{n}({\tfrac {1}{2}})=2^{-n}E_{n}$

en

${\rm {E}}_{n-1}(0)=(2^{n+1}-2){\frac {B_{n}}{n}},$

waarin $(E_{n})$ de eulergetallen zijn en $(B_{n})$ de bernoulli-getallen.

Er geldt de identiteit:

${\rm {E}}_{n}(x+1)+{\rm {E}}_{n}(x)=2x^{n}$

Voor $n>5$ heeft de Euler-polynoom ${\rm {E}}_{n}$ minder dan $n$ reële nulpunten. Weliswaar heeft ${\rm {E}}_{5}$ 5 nulpunten, waarvan er 2 dubbel zijn, maar ${\rm {E}}_{6}$ heeft slechts de twee (triviale) nulpunten 0 en 1.