Aliquotsom

In de getaltheorie is de aliquotsom van een natuurlijk getal de som van de echte delers van dat getal.[1]

In formule:

Hierin is de aliquotsom van en betekent dat “deelbaar is op” (“een deler is van”) .

Nb. Van elk natuurlijk getal is een (echte) deler.

VoorbeeldenBewerken

  • De echte delers van   zijn  . Dan is:
 
  • De echte delers van   zijn  . Dus:
 
  • Het getal   heeft geen echte delers. Daarom is, per definitie:  .
Opmerking

Indien de functie   wordt gedefinieerd met behulp van de functie  , waarbij   de som is van alle delers van  , dus als:

 

dan is (inderdaad)  .

Waarden van de aliquotsomBewerken

Voor   zijn de opvolgende waarden:[2]

 

De functie s bij bijzondere getallenBewerken

  • Als   een priemgetal is, dan is  .
  • Als   een perfect getal is, dan is  .
  • Als   een overvloedig getal is, dan is  .
  • Als   een gebrekkig getal is, dan is  .
  • Is   een macht van  , dus  , dan is:
 
En deze eigenschap geldt dus voor elk bijna perfect getal.

Eigenschappen van de functie Bewerken

Als   natuurlijke getallen zijn die relatief priem zijn, dan is:

 
Bewijs

Elke deler   van het getal   bestaat uit priemfactoren die in   zitten en priemfactoren die in   zitten. Omdat   geen gemeenschappelijke delers hebben, is zo’n   te schrijven als  , waarbij  .
En omgekeerd, elke keuze van een deler   van   en deler   van   geeft weer een deler van  , namelijk  .
Het aantal delers van   is daarmee gelijk aan het aantal delers van   maal het aantal delers van  . Dan is:

 

Als   de priemontbinding is van het natuurlijke getal  , waarin   verschillende priemgetallen zijn (elk met   als exponent), dan is:

 
Gevolg

Is de priemontbinding van een getal   bekend, dan kan  , en daarmee dus ook  , worden berekend. Evenwel, het ontbinden van erg grote getallen in priemfactoren is niet zo eenvoudig.

Voorbeeld

Voor   is:

 .

Zodat:

 

Dus is:  .

Zie ookBewerken

AliquotrijBewerken

De functie  , toegepast op  , kan ook geïtereerd worden (herhaald worden toegepast). Hierdoor ontstaat de rij:

 

Deze rij wordt de aliquotrij van het getal   genoemd.

VoorbeeldBewerken

Voor   is:

 

De aliquotrij van   is dan:  .