De echte delers van
18
{\displaystyle 18}
zijn
1
,
2
,
3
,
6
,
9
{\displaystyle 1,2,3,6,9}
. Dan is:
s
(
18
)
=
1
+
2
+
3
+
6
+
9
=
21
{\displaystyle s(18)=1+2+3+6+9=21}
De echte delers van
6
{\displaystyle 6}
zijn
1
,
2
,
3
{\displaystyle 1,2,3}
. Dus:
s
(
6
)
=
1
+
2
+
3
=
6
{\displaystyle s(6)=1+2+3=6}
Het getal
1
{\displaystyle 1}
heeft geen echte delers. Daarom is, per definitie:
s
(
1
)
=
0
{\displaystyle s(1)=0}
.
Opmerking
Indien de functie
s
{\displaystyle s}
wordt gedefinieerd met behulp van de functie
σ
{\displaystyle \sigma }
, waarbij
σ
(
n
)
{\displaystyle \sigma (n)}
de som is van alle delers van
n
{\displaystyle n}
, dus als:
s
(
n
)
=
σ
(
n
)
−
n
{\displaystyle s(n)=\sigma (n)-n}
dan is (inderdaad)
s
(
1
)
=
σ
(
1
)
−
1
=
1
−
1
=
0
{\displaystyle s(1)=\sigma (1)-1=1-1=0}
.
Waarden van de aliquotsom
bewerken
Voor
n
=
1
,
2
,
3
,
…
,
25
{\displaystyle n=1,2,3,\ldots ,25}
zijn de opvolgende waarden:[2]
0
,
1
,
1
,
3
,
1
,
6
,
1
,
7
,
4
,
8
,
1
,
16
,
1
,
10
,
9
,
15
,
1
,
21
,
1
,
22
,
11
,
14
,
1
,
36
,
6
{\displaystyle 0,1,1,3,1,6,1,7,4,8,1,16,1,10,9,15,1,21,1,22,11,14,1,36,6}
De functie s bij bijzondere getallen
bewerken
Als
n
{\displaystyle n}
een priemgetal is, dan is
s
(
n
)
=
1
{\displaystyle s(n)=1}
.
Als
n
{\displaystyle n}
een perfect getal is, dan is
s
(
n
)
=
n
{\displaystyle s(n)=n}
.
Als
n
{\displaystyle n}
een overvloedig getal is, dan is
s
(
n
)
>
n
{\displaystyle s(n)>n}
.
Als
n
{\displaystyle n}
een gebrekkig getal is, dan is
s
(
n
)
<
n
{\displaystyle s(n)<n}
.
Is
n
{\displaystyle n}
een macht van
2
{\displaystyle 2}
, dus
n
=
2
k
{\displaystyle n=2^{k}}
, dan is:
s
(
n
)
=
1
+
2
+
2
2
+
…
+
2
k
−
1
=
2
k
−
1
=
n
−
1
{\displaystyle s(n)=1+2+2^{2}+\ldots +2^{k-1}=2^{k}-1=n-1}
En deze eigenschap geldt dus voor elk bijna perfect getal .
Eigenschappen van de functie
σ
{\displaystyle \sigma }
bewerken
Als
m
,
n
{\displaystyle m,n}
natuurlijke getallen zijn die relatief priem zijn, dan is:
σ
(
m
n
)
=
σ
(
m
)
⋅
σ
(
n
)
{\displaystyle \sigma (mn)=\sigma (m)\cdot \sigma (n)}
Bewijs
Elke deler
d
{\displaystyle d}
van het getal
m
n
{\displaystyle mn}
bestaat uit priemfactoren die in
m
{\displaystyle m}
zitten en priemfactoren die in
n
{\displaystyle n}
zitten. Omdat
m
,
n
{\displaystyle m,n}
geen gemeenschappelijke delers hebben, is zo’n
d
{\displaystyle d}
te schrijven als
d
=
d
m
d
n
{\displaystyle d=d_{m}d_{n}}
, waarbij
d
m
|
m
,
d
n
|
n
{\displaystyle d_{m}|m,\ d_{n}|n}
.
En omgekeerd, elke keuze van een deler
d
m
{\displaystyle d_{m}}
van
m
{\displaystyle m}
en deler
d
n
{\displaystyle d_{n}}
van
n
{\displaystyle n}
geeft weer een deler van
m
n
{\displaystyle mn}
, namelijk
d
m
⋅
d
n
{\displaystyle d_{m}\cdot d_{n}}
.
Het aantal delers van
m
n
{\displaystyle mn}
is daarmee gelijk aan het aantal delers van
m
{\displaystyle m}
maal het aantal delers van
n
{\displaystyle n}
.
Dan is:
σ
(
m
n
)
=
∑
d
|
m
n
,
d
≠
m
n
d
=
∑
d
m
|
m
,
d
n
|
n
d
m
d
n
=
∑
d
m
|
m
d
m
⋅
∑
d
n
|
n
d
n
=
σ
(
m
)
⋅
σ
(
n
)
{\displaystyle \sigma (mn)=\sum \nolimits _{d\ |\ mn,\ d\neq mn}d=\sum \nolimits _{d_{m}|m,\ d_{n}|n}d_{m}d_{n}=\sum \nolimits _{d_{m}|m}d_{m}\,\cdot \,\sum \nolimits _{d_{n}|n}d_{n}=\sigma (m)\,\cdot \,\sigma (n)}
Als
n
=
p
1
a
1
p
2
a
2
p
3
a
3
…
p
r
a
r
{\displaystyle n=p_{1}^{a_{1}}p_{2}^{a_{2}}p_{3}^{a_{3}}\ldots p_{r}^{a_{r}}}
de priemontbinding is van het natuurlijke getal
n
{\displaystyle n}
, waarin
p
1
,
p
2
,
p
3
,
…
,
p
r
{\displaystyle p_{1},p_{2},p_{3},\ldots ,p_{r}}
verschillende priemgetallen zijn (elk met
a
i
{\displaystyle a_{i}}
als exponent ), dan is:
σ
(
n
)
=
∏
i
=
1
r
p
i
a
i
+
1
−
1
p
i
−
1
{\displaystyle \sigma (n)=\prod \nolimits _{i=1}^{r}{\frac {p_{i}^{a_{i}+1}-1}{p_{i}-1}}}
Gevolg
Is de priemontbinding van een getal
n
{\displaystyle n}
bekend, dan kan
σ
(
n
)
{\displaystyle \sigma (n)}
, en daarmee dus ook
s
(
n
)
{\displaystyle s(n)}
, worden berekend. Evenwel, het ontbinden van erg grote getallen in priemfactoren is niet zo eenvoudig.
Voorbeeld
Voor
n
=
24
=
2
3
⋅
3
{\displaystyle n=24=2^{3}\cdot 3}
is:
p
1
=
2
,
a
1
=
3
,
p
2
=
3
,
a
2
=
1
{\displaystyle p_{1}=2,\ a_{1}=3,\ p_{2}=3,\ a_{2}=1}
.
Zodat:
σ
(
24
)
=
2
4
−
1
2
−
1
⋅
3
2
−
1
3
−
1
=
15
⋅
4
=
60
{\displaystyle \sigma (24)={\frac {2^{4}-1}{2-1}}\cdot {\frac {3^{2}-1}{3-1}}=15\cdot 4=60}
Dus is:
s
(
24
)
=
60
−
24
=
36
{\displaystyle s(24)=60-24=36}
.
De functie
s
{\displaystyle s}
, toegepast op
n
{\displaystyle n}
, kan ook geïtereerd worden (herhaald worden toegepast). Hierdoor ontstaat de rij:
n
,
s
(
n
)
,
s
(
s
(
n
)
)
,
s
(
s
(
s
(
n
)
)
)
,
.
.
.
{\displaystyle n,s(n),s(s(n)),s(s(s(n))),...}
Deze rij wordt de aliquotrij van het getal
n
{\displaystyle n}
genoemd.
Voor
n
=
15
{\displaystyle n=15}
is:
s
(
15
)
=
1
+
3
+
5
=
9
,
s
(
9
)
=
1
+
3
=
4
,
s
(
4
)
=
1
+
2
=
3
,
s
(
3
)
=
1
,
s
(
1
)
=
0
{\displaystyle s(15)=1+3+5=9,\ s(9)=1+3=4,\ s(4)=1+2=3,\ s(3)=1,\ s(1)=0}
De aliquotrij van
15
{\displaystyle 15}
is dan:
15
,
9
,
4
,
3
,
1
,
0
{\displaystyle 15,9,4,3,1,0}
.
Bronnen
F. Beukers (1998): Getaltheorie . Utrecht: Epsilon Uitgaven; pp. 23-26, pp. 32-39.
(fr ) J.P. Delahaye (2002): Nombres aimables et suites aliquotes . In: Pour la science , no. 292; pp. 98-103.
M. Looijen (2015): Over getallen gesproken . Zaltbommel: Van Haren Publishing (VHP), 2e druk (2016); pp. 112-113.
Noten