Hoofdmenu openen

De warmtevergelijking of diffusievergelijking is een elementaire parabolische partiële differentiaalvergelijking die onder andere de variatie van temperatuur in een gegeven gebied in de tijd kan beschrijven.

Inhoud

DefinitieBewerken

In drie dimensies heeft de vergelijking de volgende vorm:

 ,

waarin:

  •   de temperatuur is als functie van tijd en ruimte;
  •  , de partiële afgeleide naar de tijd, de mate van temperatuurverandering is in de tijd in een gegeven punt;
  •  ,  , en   de tweede partiële afgeleiden zijn van de temperatuur naar een van de richtingen   en  .
  •   een materiaal-specifieke constante, de temperatuurvereffeningscoëfficiënt is

Voor willekeurige dimensies kan de warmtevergelijking door middel van de Laplace-operator beschreven worden.

 

Hierin wordt de Laplace-operator genomen over de variabelen die de ruimte beschrijven (in bovenstaand voorbeeld   en  ).

Probleemstelling, randvoorwaardenBewerken

Om van de warmtevergelijking een zinvolle wiskundige (en fysische) probleemstelling te maken, moet ze nog aangevuld worden met randvoorwaarden. Dat wil zeggen dat bepaalde aspecten van de onbekende functie   a priori worden vastgelegd op de rand van een deelverzameling van de ruimte-tijd. Meestal neemt dit de vorm aan van een afzonderlijke beginvoorwaarde op tijdstip   en een ruimtelijke randvoorwaarde op de rand van een deelverzameling van de ruimtelijke coördinaten. In dat geval zoeken we naar functies   voor strikt positieve tijdstippen en voor ruimtelijke coördinaten die binnen de gegeven deelverzameling liggen.

Voor de beginvoorwaarde wordt meestal de waarde van   zelf vastgelegd voor   en voor elke mogelijk punt in de ruimte (of het relevante deel van de ruimte).

Voor de ruimtelijke randvoorwaarde legt men meestal de waarde van   zelf vast (probleem van Dirichlet), of haar richtingsafgeleide loodrecht op de rand van de gegeven verzameling (probleem van Neumann), of een combinatie van beiden.

VoorbeeldBewerken

De temperatuurverdeling en -evolutie in een dunne geïsoleerde staaf van lengte   wordt beschreven door een warmtevergelijking in één tijdelijke en één ruimtelijke coördinaat

 

De beginvoorwaarde specificeert de temperatuurverdeling   op het begintijdstip  :

 

Het thermische isolement van de staaf vertolkt zich in de Neumann-randvoorwaarden

 

OplossingBewerken

De aanpak bestaat er meestal in, voor de specifieke vorm van de randvoorwaarden een geschikte greense functie te vinden. Bij ruimtelijke dimensie een betekent dit een functie

 

die als functie van   en   voldoet aan de warmtevergelijking, maar waarbij de rand- en beginvoorwaarden herleid zijn tot een diracfunctie geconcentreerd in  .

De eigenlijke oplossing van het randvoorwaardeprobleem is dan de integraal van deze greense functie, gewogen met de echte begin- en randvoorwaarden als functie van   en  .