Een greense functie, genoemd naar de Britse wiskundige George Green, die deze functie rond 1830 ontwikkelde, is een bepaald type functie dat gebruikt wordt voor het oplossen van inhomogene lineaire differentiaalvergelijkingen met randvoorwaarden.

Greense functies spelen een belangrijke rol in veel vraagstukken van elektromagnetisme, akoestica, elasticiteit en dies meer. Ze spelen zowel een rol in de theoretische uitwerking van in de praktijk voorkomende vraagstukken, als ook in oplossingsmethoden met behulp van numerieke wiskunde.

Achtergrond

bewerken

De oplossingen van een stelsel van lineaire vergelijkingen   met een singuliere matrix   zijn van de vorm

 

waarin

 

en   een speciale oplossing is van het stelsel die gevonden kan worden met behulp van een matrix   waarvoor geldt:

 .

Dan is namelijk voor  

 

Naar analogie hiermee kan een zogenaamde particuliere oplossing   van de inhomogene lineaire differentiaalvergelijking   gevonden worden met behulp van de greense functie   waarvoor geldt:

 

(NB. de differentiaalvergelijking wordt veel verkeerdelijk geschreven als   in plaats van  .)

Aangezien

 

en

 ,

volgt namelijk voor   d.w.z.

 

dat

 
 

Het oplossen van de differentiaalvergelijking komt dus neer op het vinden van de bijbehorende greense functie. Een greense functie is niet altijd een echte functie, maar in het algemeen wel een distributie.

Definitie

bewerken

De functie   heet greense functie van de lineaire differentiaaloperator   als:

 

Met behulp van deze greense functie kan een particuliere oplossing   van de inhomogene lineaire differentiaalvergelijking

 

geschreven kan worden als:

 .

Eigenwaarden

bewerken

Als de differentiaaloperator   een volledig stelsel eigenvectoren   heeft, kan daarmee een greense functie gevonden worden. Voor het volledige stelsel eigenvectoren   geldt namelijk:

 

Voor de greense functie   kan dan genomen worden:

 ,

waarin   de bij   behorende eigenwaarde is.

Oplossingsmethoden

bewerken

Een handige manier om de greense functie G(x,y) uit te rekenen is door G in te vullen in de differentiaaloperator.

 

Daardoor wordt het domein nu in tweeën opgesplitst:   en   In deze twee gebieden is de differentiaalvergelijking homogeen en (vaak) eenvoudiger op te lossen met de standaardtechnieken. Om de coëfficiënten te vinden is het nodig om de differentiaalvergelijking in zijn geheel een keer te integreren.

Het opleggen van de randvoorwaarden, continuïteit op   en het verband uit de geïntegreerde differentiaalvergelijking levert de coëfficiënten op (die van   afhangen).

Publicaties

bewerken

Zie ook

bewerken
bewerken