Universele verzameling

wiskunde

In de verzamelingenleer, een deelgebied van de wiskunde, is een universele verzameling díe verzameling van wiskundige objecten (entiteiten) die bij een wiskundige verhandeling (in ruime zin) of bij een onderzoek een rol spelen c.q. onderwerp van bespreking zijn of zouden kunnen zijn binnen die verhandeling of dat onderzoek.

Bij de meeste deelgebieden van de wiskunde behoren verzamelingen en daarop gebaseerde operaties tot de instrumenten waarmee zo'n deelgebied wordt beschreven. Vaak worden daarbij dan deelverzamelingen gebruikt van eenzelfde 'vaste' verzameling, gekoppeld aan juist dat deelgebied.

Een universele verzameling wordt bijna altijd aangegeven met de letter (soms ook met , de kleine Griekse letter ksi). Zo'n universele verzameling wordt ook wel de alverzameling van het deelgebied genoemd.[1]

Als van elke entiteit (een object of een verzameling objecten) kan worden vastgesteld of die in een bepaalde situatie (in de ruimste zin) wordt c.q. kan worden overwogen/gebruikt – heeft dan de eigenschap c.q. is waar[2] – kan een universele verzameling, binnen een zekere context, ook worden opgevat als een klasse:

VoorbeeldenBewerken

  • In de vlakke meetkunde kan   de verzameling zijn van alle reële punten in het euclidische vlak. Deelverzamelingen van   zijn bijvoorbeeld rechte lijnen (als verzameling van punten), de hoekpunten en punten van de zijden van een vierhoek.
  • In de rekenkunde en in de schoolalgebra is   bij het oplossen van rekenproblemen meestal een vooraf vastgestelde getalverzameling, zoals   (natuurlijke getallen) of   (reële getallen).
Maar ook is mogelijk, weer als voorbeeld:  
  • In de analyse is   bijvoorbeeld de verzameling van differentiëerbare functies.
  • In de taalkunde is de verzameling bestaande uit de trefwoorden (lemmata, ingangen) in de officiële woordenlijst van een taal op te vatten als een universele verzameling.
  • Is dit artikel (met de naam "Universele verzameling") de bedoelde context en is   de universele verzameling daarbij, dan geldt:[3]
 

EigenschappenBewerken

 
  en   vormen samen  .
  • Is   de verzameling objecten waarover een zekere verhandeling gaat en is   de verzameling van alle objecten   waarover die verhandeling zou kunnen gaan, dan is   (ook wel  ) de verzameling van objecten die niet besproken worden, het (absolute) complement van  . Of, iets formeler:
 
En dan is:
 
  • Voor elke universele verzameling   geldt:  .
Bewijs:
 
  • Dus is ook, binnen de bedoelde context:  .
  • Zijn   en   de universele verzamelingen van twee artikelen (in bijvoorbeeld een tijdschrift) en worden deze artikelen samengevoegd tot één artikel, dan geldt voor de universele verzameling   van dat nieuwe artikel:
 

Zie ookBewerken

Externe linksBewerken