|
[[Bestand:Total function.svg|thumb|Partiële functie <math>X \rightharpoonup Y</math> die wel een totale functie is]]
In de [[wiskunde]] is een '''partiële functie''' <math>f</math> een [[FunctieRelatie (wiskunde)|functierelatie]] tussen twee [[Verzameling (wiskunde)|verzamelingen]] <math>X</math> en <math>Y</math>, waarbijdie in ieder geval op een deel van <math>X</math> als het ware te ruim is gekozen en heteen [[DomeinFunctie (wiskunde)|domeinfunctie]] vanis, <math>f</math>maar eenniet noodzakelijk voor alle [[DeelverzamelingElement (wiskunde)|strikte deelverzamelingelementen]] vangedefinieerd <math>X</math> kan zijnis. Een partiële functie beschrijft de situatie waarin, anders dan bij een (gewone) functie, niet noodzakelijk aan ieder element van <math>X</math> een element van <math>Y</math> wordt toegevoegd. Zo is het [[omgekeerde]] <math>1/x</math> van een getal <math>x</math> wel een functie van de [[Geheel getal|gehele getallen]] behalve 0 in de [[Rationaal getal|rationale getallen]], maar een partiële functie van alle gehele getallen.
== Definitie ==
Een ''partiële functie'' <math>f</math> is een [[tweeplaatsige relatie]] tussen de verzamelingen <math>X</math> en <math>Y</math> die, beperktgeen totelement de deelverzamelingvan <math>D\subseteq X</math> met elementen <math>d</math> waarvoor <math>f(d)\in Y</math>,verband dusbrengt waarvoormet <math>f</math>meer gedefinieerddan is,één eenelement functie is. Men noteert een partiële functievan <math>fY</math>. om aan te geven dat <math>f</math> niet op de hele verzameling <math>X</math> is gedefinieerd als:
Er kunnen dus elementen in <math>X</math> zijn die niet door <math>f</math> toegevoegd worden aan een element van <math>Y</math>.
Om aan te geven dat <math>f</math> een partiële functie is en dus niet noodzakelijk op de hele verzameling <math>X</math> is gedefinieerd, wordt <math>f</math> genoteerd als:
:<math>f\colon X \rightharpoonup Y</math>
of alternatief als
:<math>f\colon X\rightsquigarrow Y</math>
:<math>f\colon \subseteq X \to Y</math>
:<math>f\colon X\rightarrowtail Y</math>
De verzamelingdeelverzameling <math>D \subseteq X</math> van elementen die in relatie staan met een element van <math>Y</math>, wordt het [[Domein (wiskunde)|domein]] van <math>f</math> genoemd en de verzameling <math>Y</math> het [[codomein]]. De verzameling <math>X</math> wordt wel aangeduid als bron(verzameling) en <math>Y</math> in dat verband als doel(verzameling). Als het domein <math>D</math> gelijk is aan <math>X</math>, zodat elk element van <math>X</math> geassocieerd is met precies één element uit het codomein, spreekt men eenvoudigweg van een [[Functie (wiskunde)|functie]] of eventueel van een totale functie.
== Voorbeelden ==
::<math>g(n) = \sqrt{n}</math>
: <math>g</math> is niet voor alle gehele <math>n</math> gedefinieerd, maar alleen voor [[Kwadraat|kwadraten]].
* Het [[omgekeerde]] <math>1/x</math> van een getal <math>x</math> is wel een functie van de [[Geheel getal|gehele getallen]] behalve 0 in de [[Rationaal getal|rationale getallen]], maar een partiële functie van alle gehele getallen.
* Zij <math>R</math> de verzameling van alle oneindige [[Rij (wiskunde)|rijen]] in <math>\R</math> en <math>g\colon R \rightharpoonup \R</math> de [[tweeplaatsige relatie]] die aan een [[Convergentie (wiskunde)|convergente]] rij de limiet toevoegt. <math>g</math> is een partiële functie op <math>R</math>, omdat niet alle oneindige rijen convergeren.
| 