Derdegraadsvergelijking: verschil tussen versies

[[Bestand:Polynomialdeg3.svg|thumbminiatuur|[[Grafiek (wiskunde)|Grafiek]] van een derdegraads-vergelijking met haar drie, in dit geval reële [[wortel (wiskunde)|wortel]]s, dat wil zeggen de [[snijpunt]]en, waar de [[kromme]] de [[Coördinatenstelsel|''<math>x''</math>-as]] kruist. Deze derdegraadsverge-lijking heeft 2 [[Kritisch punt (wiskunde)|kritische punten]].]]

:<math>\, ax^3+bx^2+cx+d=0</math>

waarwaarin ''<math>a''</math> ongelijk is aan nul. De ''getallen <math>a'', ''b'', ''c''</math> en ''<math>d''</math> heten de constanten of de [[Polynoom#Coëfficiënten|coëfficiënten]] van de vergelijking,; zij zijn in het algemeen [[Geheel getal|geheel]] of [[Reëel getal|reëel]].

# Zoek een reëel getal <math>x</math> waarvoor <math>x^3+1=0</math>. De enige oplossing van dit probleem luidt <math>x=-1</math>

# Zoek een geheel getal <math>x</math> waarvoor <math>x^3+x^2+x=0</math>. De enige oplossing van dit probleem luidt <math>x=0</math>. Als we de voorwaarde "geheel" vervangen door "complex" zijn er nog twee andere oplossingen, namelijk <math>x={-1+i\sqrt{3}\over2}</math> en <math>x={-1-i\sqrt{3}\over2}</math>

# Zoek een reëel getal <math>x</math> waarvoor <math>x^3+x^2+1=0</math>. Deze vergelijking heeft precies één oplossing. Als we de voorwaarde "reëel" vervangen door "geheel", is er geen enkele oplossing.

# Zoek een reëel getal <math>x</math> waarvoor <math>x^3-9x=0</math>. Deze vergelijking heeft drie verschillende oplossingen: <math>x=-3,x=0</math> en <math>x=3</math>. Dit blijkt rechtstreeks door te ontbinden in [[Factorisatie|factoren]] <br><math>x^3-9x=x(x^2-9)=x(x+3)(x-3)</math>, maar wordt ook aanschouwelijk door de grafiek van de derdegraadsvergelijking te bekijken. De nulpunten zijn de snijpunten van de grafiek met de X<math>x</math>-as.

[[Bestand:Cubicpoly.svg|center|300px|thumbminiatuur|Grafiek van de veeltermfunctie <math>f(x)=x^3-9x</math>. De reële nulpunten zijn de drie snijpunten met de X<math>x</math>-as.]]

:<math>z^3+3pz-2q=0</math>.

;Geval 1: <math>:\ D=0; p=q=0</math>

De enige drievoudige oplossing is <math>z=0</math>.

;Geval 2: <math>:\ D=0; p,q\ne 0</math>

Omdat <math>D=0</math> is <math>u=v.</math>. Er zijn 2 verschillende reële oplossingen; een enkelvoudige <math>z_1=2u</math> en een tweevoudige <math>z_2=-u</math>.

;Geval 3: <math>:\ D>0</math>

Er is één reële oplossing <math>z_1=u+v</math> en twee complex geconjugeerde oplossingen: <math>z_{2,3}=-\tfrac 12 (u+v) \pm \tfrac 12 i \sqrt 3(u-v)</math>.

;Geval 4: <math>:\ D<0</math>, de zogeheten 'casus irreducibilis'

en maakt men gebruik van de identiteit:

:<math>4\cos^3(t) - 3\cos(t) = \cos (3t),</math>

:<math>\tfrac 14{1}{4} r^3\left( \cos (3t)+3\cos(t) \right)+3pr\cos(t)-2q=0</math>

:<math>r^3\cos (3t)+3\cos(t)+(3r^3+12pr)\cos(t)-8q=0</math>.

:<math>r^2+4p=0, \text{ dus }r=2\sqrt{-p}</math>

:<math>(\sqrt{-p})^3\cos (3t)-q=0,</math>

:<math>x^3 + a x^2 + bx + c = 0\,</math>

:<math>x_0=1,\ x_1=2,\ x_2=4\,</math>

wordt voor ''<math>n'' = 3</math> de volgende term bepaald:

:<math>x_n/x_{n-1}\,</math>

:<math>x_{n-3}=x_{n-2},\ x_{n-2}=x_{n-1},\ x_{n-1}=x_n\,</math>