Schatten: verschil tussen versies

Een vreemde [[munt (betaalmiddel)|munt]] ziet er niet bepaald symmetrisch uit, zodat de [[kansrekening|kans]] <math>p</math> op kop[[Kruis of munt|kruis]] vermoedelijk niet <math>\begin{matrix}\fractfrac 12\end{matrix}</math> zal zijn. Daarom gooien we 10 keer met de munt. Stel dat we in deze steekproef 3 keer kopkruis vinden. We zouden dan de onbekende parameter <math>p</math> (de [[populatiefractie]]) kunnen schatten door de [[steekproeffractie]] <math>\begintfrac{matrix3}\frac 3{10}\end{matrix}</math> .

Een ander voorbeeld is bekend uit de [[Tweede Wereldoorlog]]. Het viel de Engelsen op dat Duits oorlogsmaterieel, zoals neergehaalde Duitse [[bommenwerper]]s, banden van voertuigen en [[versnellingsbak]]ken van [[tank (voertuig)|tanktanks]]s, "gründlich" voorzien was van een serienummer. Op grond van de gevonden serienummers in de "steekproef" gaven statistici een schatting van de totale (maandelijkse) productie ''<math>N''</math>. Het zal duidelijk zijn dat alleen het hoogste gevonden nummer ''<math>M''</math> van belang is, d.w.z. een goede schatter zal alleen afhankelijk zijn van ''<math>M'' </math>. Men kan laten zien dat bij een steekproefomvang ''<math>n''</math>, een goede schatting van ''<math>N''</math> gegeven wordt door:

:<math>{\rm E}M=\frac n{n+1}(N+1)</math>
en dus
:<math>{\rm E}\hat N = N</math>,

is <math>\hat N </math> een [[zuivere schatter]] van <math>N</math>.

Overigens gebruikten de statistici een iets andere schatter, die voor grote steekproeven praktisch gelijk is aan <math>\hat N.</math>. Na de oorlog bleek dat de schattingen tamelijk nauwkeurig waren, in tegenstelling tot de ramingen van de geheime dienst, die factoren 5 à 7 te hoog waren.

Laat <math>\scriptstyle X_1, \dotsldots , X_n</math> een [[aselect]]e steekproef zijn uit een populatie of kansverdeling.

:'''Binomiale verdeling''': <math>B(''n,p'')</math>. De te schatten parameter is de succeskans (populatiefractie) ''<math>p''</math>. Laat ''<math>X''</math> het aantal successen in de steekproef zijn, dan kan ''<math>p''</math> geschat worden door o.a. de schatters: <math>X/n</math> (de steekproeffractie), <math>X/(n+1)</math> en <math>(X+1)/(n+2)</math>.<br /><br />

:'''Uniforme verdeling''' op het interval <math>[0,M]</math>. De te schatten parameter is de bovengrens ''<math>M''</math>. Geschikte schatters zijn: max{{<math|X>\mathrm{{sub|i}}}max}(X_i)</math> (de bovengrens in de steekproef) en <math>\scriptstyle (1+1/n)\tfrac 1ncdot\mathrm{max}(X_i)</math>max {{math|X{{sub|i}}}}.<br /><br />