Versie van 20 sep 2018 07:52 bewerken Daaf Spijker (overleg \| bijdragen) 6.381 bewerkingen k →‎Voorkomen in de natuur: gon -> goon, vandaar ← Oudere bewerking		Versie van 21 sep 2018 09:04 bewerken ongedaan maken Geerlings' robot (overleg \| bijdragen) uitgebreid bevestigde gebruikers, Uitgezonderden van IP-adresblokkades 182.037 bewerkingen k -/- spaties voor ref (verzoek op WP:VPB) Nieuwere bewerking →
Regel 4: == Regelmatige 24-hoek == De grootte <math>\alpha</math> van een hoek van een [[~~Regelmatige_veelhoek~~Regelmatige veelhoek\|regelmatige]] 24-hoek is (in graden): ::<math>\alpha =\frac{n-2}{n}\cdot {{180}^{\text{o}}}=\frac{22}{24}\cdot {{180}^{\text{o}}}={{165}^{\text{o}}}</math> De [[Veelhoek#Oppervlakte\|algemene formule]] voor de oppervlakte <math>A</math> van een regelmatige <math>n</math>-hoek waarvan de lengte van een zijde gelijk is aan <math>z</math>, luidt <ref>Daarbij is <math>\cot =\operatorname{cotangens}=\frac{1}{\tan }</math>.</ref>: :: <math>A=\tfrac{1}{4}n{{z}^{2}}\cot \left( \frac{{{180}^{\text{o}}}}{n} \right)</math> :Voor <math>n=24</math> is dat: :: <math>A=6{{z}^{2}}\cot (7{{\tfrac{1}{2}}^{\text{o}}})</math> :Door gebruik te maken van enkele [[~~Lijst_van_goniometrische_gelijkheden~~Lijst van goniometrische gelijkheden\|goniometrische identiteiten]] kan de exacte waarde van <math>\cot (7{{\tfrac{1}{2}}^{\text{o}}})</math> worden berekend. :Allereerst is: :: <math>\sin ({{15}^{\text{o}}})=\sin ({{45}^{\text{o}}}-{{30}^{\text{o}}})=\sin {{45}^{\text{o}}}\cdot \cos {{30}^{\text{o}}}-\cos {{45}^{\text{o}}}\cdot \sin {{30}^{\text{o}}}=\frac{\surd 3-1}{2\surd 2}</math> Regel 44: * De constructie van een 24-hoek kan worden uitgevoerd door, beginnend met een gelijkzijdige driehoek met omgeschreven cirkel, de middelloodlijnen van de zijden van de laatste geconstrueerde veelhoek te snijden met de cirkel. De nieuwe snijpunten zijn dan, naast de reeds bestaande punten op de cirkel, hoekpunten van de ‘volgende’ veelhoek. : Op deze manier ontstaat de rij veelhoeken, 3-, 6-, 12-, 24-, 48-, 96-hoek die Archimedes gebruikte bij zijn benadering van <math>\pi</math>. * Dat de 24-hoek construeerbaar is met [[~~Constructie_met_passer_en_liniaal~~Constructie met passer en liniaal\|passer en (ongemerkte) liniaal]] volgt ook uit de stelling van Gauss-Wantzel, omdat <math>24={{2}^{3}}\cdot 3</math> en de oneven factor 3 een [[Fermat-priemgetal]] is: <math>3={{2}^{{{2}^{0}}}}+1</math> ([[#Literatuur\|zie: Kazarinoff; pp. 119-125]]). == Zie ook == * [[~~Pi_~~Pi (wiskunde)\|Pi]] * [[~~Benadering_van_een_grootheid~~Benadering van een grootheid\|Benadering]] * [[Omtrek]] * [[Isoperimetrisch quotiënt]] == Literatuur == * {{aut\|L. Borggren, J. & P. Borwein (1997):}} ''Pi: A Source Book''. New York (USA): Springer, 3e editie (2003); pp. ~~7-19~~ 7–19. * {{aut\|N.D. Kazarinoff (1970):}} ''The Ruler and the Round.'' Mineola (USA): Dover Publications Inc.; reprint 2003.

Vierentwintighoek: verschil tussen versies