|
==Definitie==
Als <math>A = (a_{ij})</math> en <math>B=(b_{ij})</math> twee matrices zijn met ''<math>m''</math> rijen en ''n''<math>m</math> kolommen, dan is het Hadamardproduct, genoteerd als <math> A \circ B</math>, een ''<math>m''-bij-'' \times n''</math>-matrix met als elementen:
:<math>(A \circ B)_{ij} = a_{ij} \cdot b_{ij}, i = 1 \dots m, j= 1 \dots n </math>
Dus
:<math>A \circ B = \begin{pmatrix} a_{11} \cdot b_{11} & \cdots & a_{1n} \cdot b_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} \cdot b_{m1} & \cdots & a_{mn} \cdot b_{mn} \end{pmatrix}</math>
Hierin zijn de elementen <math>a_{ij}</math> en <math> b_{ij}</math> [[reëel getal|reële]] of [[complex getal|complexe getallen]].
Het Hadamardproduct verschilt duidelijk van de gewone [[matrixvermenigvuldiging]]. Om dit duidelijk te maken gebruikt men voor het Hadamardproduct het symbool <math>\circ</math> (soms <math>\odot</math> of <math> * </math>). Enkel wanneer ''<math>A''</math> en ''<math>B''</math> [[diagonaalmatrix|diagonaalmatrices]] zijn, is het Hadamardproduct <math>A \circ B</math> gelijk aan de matrixvermenigvuldiging <math>AB.</math>.
==Voorbeeld==
Het Hadamardproduct van dezede matrices is▼
:<math>A = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 0 & 1 \\ -2 & 5 \end{pmatrix}</math> en <math>B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 1 \\ 3 & 3 \end{pmatrix}</math>
is
▲Het Hadamardproduct van deze matrices is
:<math>A \circ B = \begin{pmatrix} 3 \cdot 1 & 2 \cdot 2 \\ 0 \cdot 3 & 1 \cdot 1 \\ -2 \cdot 3 & 5 \cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 0 & 1 \\ -6 & 15 \end{pmatrix}</math>.
*Anders dan de matrixvermenigvuldiging is het Hadamardproduct [[commutativiteit|commutatief]]: <math>A \circ B = B \circ A </math>.
*Het is [[distributiviteit|distributief]] t.o.v. de matrixoptelling: <math>C \circ (A + B) = C \circ A + C \circ B</math>.
*Het is lineair: <math>a (A \circ B) = (a A) \circ B = A \circ (a B)</math>, waarin ''<math>a''</math> een (complexe) constante is.
Deze eigenschappen volgen rechtstreeks uit de eigenschappen van de vermenigvuldiging van reële of complexe getallen.
*De "identiteitsmatrix" voor het Hadamardproduct is een matrix waarvan elk element gelijk is aan 1. Deze wordt aangeduid als ''<math>J''</math> om verwarring met de [[identiteitsmatrix]] ''<math>I''</math> te vermijden.
*De "Hadamardinverse" van een matrix ''<math>A'',</math> aangeduid als ''Â''<math>\hat{A},</math> bestaat slechts als elk element van ''<math>A''</math> verschilt van nul. Elk element van ''Â''<math>\hat{A}</math> is de inverse van het corresponderende element van ''<math>A''</math>: <math> \hat{a}_{ij} = (a_{ij})^{-1}.</math> Dan is <math> A \circ \hat A = \hat A \circ A = J.</math>
*De verzameling ''<math>m''-bij-'' \times n''</math>-matrices waarvan alle elementen verschillen van nul, vormt een [[Abelse groep]] met als bewerking het Hadamardproduct.
*Het Hadamardproduct van twee [[positief-definiete matrix|positief-semidefiniete]] ''<math>n''-bij-'' \times n''</math>-matrices is ook positief-semidefiniet. Het Hadamardproduct van twee positief-definiete matrices is ook positief-definiet. Een symmetrische matrix is positief-definiet als en slechts als hij kan geschreven worden als het Hadamardproduct van twee positief-definiete matrices. De Duitse wiskundige Issai Schur bewees dit voor het eerst in 1911.<ref>[http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002167336 {{aut|J. Schur.}} "Bemerkungen zur Theorie der beschränkten Bilinearformen mit unendlich vielen Veränderlichen." ''Journal für die reine und angewandte Mathematik'' (1911), vol. 140, blz. 1-28.]</ref>
*Als ''<math>A''</math> en ''<math>B''</math> twee positief-semidefiniete matrices zijn, geldt voor de [[determinant]] van hun Hadamardproduct de ''ongelijkheid van Oppenheim'':
:<math>\det(A \circ B) \geq \det(A) \det(B)</math>
*Als <math>A</math> en <math>B</math> twee ''<math>m''-bij-'' \times n''</math>-matrices zijn, dan geldt voor de [[rang (lineaire algebra)|rang]] van hun Hadamardproduct:
:<math>\operatorname{rank}(A \circ B) \leq \operatorname{rank}(A) \cdot \operatorname{rank}(B)</math>
*Als ''<math>A''</math> en ''<math>B''</math> twee ''<math>m''-bij-'' \times n''</math>-matrices zijn is het ''<math>i</math>-de'' diagonaalelement van het matrixproduct <math>AB^\text{T}</math> gegeven door:
:<math>(AB^\text{T})_{ii} = a_{i1}b_{i1} + a_{i2}b_{i2} + \dots + a_{in}b_{in}</math>
:Hieruit kan men afleiden dat het [[spoor (lineaire algebra)|spoor]] van <math>AB^T</math> gelijk is aan de som van alle elementen van het Hadamardproduct <math>A \circ B</math>.
:WanneerAls ''<math>A''</math> en ''<math>B''</math> beide vierkante matrices zijn, is de som van de ''<math>i''</math>-de rij in <math>A \circ B</math> gelijk aan het ''<math>i''</math>-de diagonaalelement van <math>AB^\text{T}</math>:
:<math>\sum_j (A \circ B)_{ij} = (AB^\text{T})_{ii}.</math>
*Het Hadamardproduct van twee ''<math>m''-bij-'' \times n''</math>-matrices ''<math>A''</math> en ''<math>B''</math> is een [[deelmatrix]] van het [[Kronecker-product]] van ''<math>A''</math> en ''<math>B'';</math> de elementen van het Hadamardproduct staan op de kruisingen van de kolommen <math>1, ''n''+2, 2''n''2n+3, ...\ldots, ''n''<sup>^2</supmath> en de rijen <math>1, ''m''+2, 2''m''2m+3, ...\ldots, ''m''<sup>^2</supmath> van het Kronecker-product.
{{Appendix}}
| 