Versie van 2 apr 2018 12:52 bewerken Madyno (overleg \| bijdragen) 34.753 bewerkingen Het is prima dat je typefouten corrigeert, maar je verdere aanpassingen zijn onnodig ← Oudere bewerking		Versie van 2 apr 2018 12:55 bewerken ongedaan maken ChristiaanPR (overleg \| bijdragen) uitgebreid bevestigde gebruikers, Uitgezonderden van IP-adresblokkades 34.116 bewerkingen Geen bewerkingssamenvatting Nieuwere bewerking →
Regel 1: In de [[galoistheorie]], een deelgebied van de [[wiskunde]], is een '''galoisgroep''' een speciale [[Groep (wiskunde)\|groep]] die bij een [[Lichaamsuitbreiding (Ned) / Velduitbreiding (Be)\|lichaams/velduitbreiding]] hoort en bestaat uit de [[automorfisme]]n daarvan die het [[Lichaam (Ned) / Veld (Be)\|lichaam (Nederlands) of veld (Belgisch)]] zelf elementsgewijs [[Invariant (wiskunde)\|invariant]] laten. De ~~'''~~galoisgroep~~'''~~ is een hulpmiddel waarmee lichaamsuitbreidingen onderzocht kunnen worden, doordat de [[Deellichaam\|deellichamen]] in een lichaamsuitbreiding in verband staan met bepaalde [[ondergroep]]en van de galoisgroep. De galoisgroep is genoemd naar de Franse wiskundige [[Évariste Galois]] die deze groepen als eerste beschreef. Van historische betekenis was dat de klassieke vraag naar construeerbaarheid met passer en liniaal van bepaalde [[Algebraïsch getal\|algebraïsche getallen]] daardoor ~~geformuleerd~~ kon worden geformuleerd in termen van de [[groepentheorie]]. Volgens de [[hoofdstelling van de algebra]] liggen alle [[nulpunt]]en van een polynoom met reële coëfficiënten in het [[complexe vlak]], zij vormen in het complexe vlak een lichaam (Nederlands) / veld (Belgisch) van algebraïsche getallen. De studie van de galoisgroepen van polynomen is begonnen met de studie van de lichaams/velduitbreidingen. De galoistheorie bestudeert welke [[Permutatiegroep\|groepen]] die de nulpunten van een polynoom <math>f</math> permuteren, <math>f</math> invariant laten. == Definitie == Laat het lichaam <math>L</math> een lichaamsuitbreiding zijn van het lichaam <math>K</math>, (meestal genoteerd als <math>L/K</math>, lees "<math>L</math> over <math>K</math>"). De ''galoisgroep'' <math>\mathrm{Gal}(L/K)</math> van deze uitbreiding is de groep van automorfismen van <math>L</math> die elk element van <math>K</math> op dat element zelf [[Beeld (wiskunde)\|afbeelden]]. Dus :<math>\mathrm{Gal}(L/K) = \lbrace \varphi \in \mathrm{Aut}(L) \mid \varphi(k)=k\ \text{voor alle}\ k\in K\rbrace </math> ~~De '''galoisgroep van een polynoom'''~~ <math>p</math> is een polynoom met coëfficiënten in het lichaam <math>K</math>. De galoisgroep van <math>p</math> is de galoisgroep <math>\mathrm{Gal}(L/K)</math> van een [[splijtlichaam]] <math>L</math> van <math>p.</math> De galoisgroep van ~~de polynoom~~ <math>p</math> wordt genoteerd als <math>\mathrm{Gal}(p)</math> of <math>G(p).</math> Men spreekt in dit verband eenvoudigweg van "de" galoisgroep omdat splijtlichamen de galoisgroep op [[isomorfisme\|isomorfie]] na eenduidig bepalen. ▼ ~~=== Galoisgroep van een polynoom ===~~ ▲De '''galoisgroep van een polynoom''' <math>p</math> met coëfficiënten in het lichaam <math>K</math> is de galoisgroep <math>\mathrm{Gal}(L/K)</math> van een [[splijtlichaam]] <math>L</math> van <math>p.</math> De galoisgroep van de polynoom <math>p</math> wordt genoteerd als <math>\mathrm{Gal}(p)</math> of <math>G(p).</math> Men spreekt in dit verband eenvoudigweg van "de" galoisgroep omdat splijtlichamen de galoisgroep op [[isomorfisme\|isomorfie]] na eenduidig bepalen. Bij iedere eindige groep <math>G</math> is een polynoom <math>p</math> te vinden, zodat <math>G</math> de galoisgroep van <math>p</math> is. ~~===Afwijkende betekenis===~~ Omdat galoisgroepen vooral toepassing vinden, als de lichaamsuitbreiding een [[galoisuitbreiding]] is, wordt in de literatuur vaak alleen in dit geval van galoisgroep gesproken. ~~<!--Wat moet hiermee gebeuren?~~ === Berekening ===▼ Het uitgangspunt van de definitie van de galoisgroep is een polynoom <math>f,</math> waarvan wordt verondersteld dat alle nulpunten in de lichaams/velduitbreiding <math>E</math> van de [[Rationaal getal\|rationale getallen]] <math>\Q</math> liggen. De galoisgroep <math>G(f)</math> van <math>f</math> bestaat uit de [[Verzameling (wiskunde)\|verzameling]] van alle [[automorfisme]]n van <math>E</math>, zodanig dat ieder beeld van een nulpunt weer een nulpunt is. <math>G(f)</math> bestaat dus uit de permuaties van de nulpunten van <math>f</math> die een automorfisme zijn. Omdat de nulpunten van een polynoom niet altijd in de coëfficiënten zijn uit te drukken, maar soms alleen numeriek kunnen worden bepaald, kan met behulp van deze definitie niet altijd de galoisgroep van een polynoom worden berekend. Een dergelijke methode, dus om de galoisgroep van een polynoom in de coëfficiënten uit te drukken, is er wel.<ref>{{en}} RP Stauduhar in [[Mathematics of Computation]]. [http://www.jstor.org/pss/2005536 The Determination of Galois Groups], oktober 1973. 27, 124</ref> Voor het geval dat de nulpunten wel in de coëfficiënten zijn uit te drukken, geeft deze methode hetzelfde antwoord als dat met behulp van directe berekening zou zijn bepaald.▼ ~~-->~~ == Voorbeelden == De [[Complex getal\|complexen getallen]] <math>\C</math> vormen een lichaam en omvatten het lichaam van de [[Reëel getal\|reële getallen]] <math>\R</math>. Dus is <math>\C/\R</math> een lichaamsuitbreiding. Aangezien <math>\C</math> een [[vectorruimte]] is van dimensie 2 over <math>\R</math>, is <math>\{1, i\}</math> een basis en is de graad van de uitbreiding <math>[\C:\R] = 2.</math> De galoisgroep bestaat uit twee elementen: de [[identiteit]] en de [[Complex geconjugeerde\|complexe conjugatie]]. De uitbreiding <math>\C/\R</math> is de uitbreiding van de polynoom <math>p(x)=x^2+1,</math> dat de wortels <math>i</math> en <math>-i</math> heeft. De identiteit beeldt elke wortel op zichzelf af, de complexe conjugatie verwisselt ze. De galoisgroep <math>\mathrm{Gal}(p)</math> is dus isomorf met de symmetriegroep <math>S_2.</math> Regel 28 ⟶ 20: :<math>\Q(\omega \sqrt[3]{2},\omega^2 \sqrt[3]{2})</math> en de galoisgroep <math>\mathrm{Gal}(p)</math> is isomorf met de symmetriegroep <math>S_3.</math> ▲=== Berekening === ▲Omdat de nulpunten van een polynoom niet altijd in de coëfficiënten zijn uit te drukken, maar soms alleen numeriek kunnen worden bepaald, kan met behulp van deze definitie niet altijd de galoisgroep van een polynoom worden berekend. Een dergelijke methode, dus om de galoisgroep van een polynoom in de coëfficiënten uit te drukken, is er wel.<ref>{{en}} RP Stauduhar in [[Mathematics of Computation]]. [http://www.jstor.org/pss/2005536 The Determination of Galois Groups], oktober 1973. 27, 124</ref> Voor het geval dat de nulpunten wel in de coëfficiënten zijn uit te drukken, geeft deze methode hetzelfde antwoord als dat met behulp van directe berekening zou zijn bepaald. == Voetnoten ==

Galoisgroep: verschil tussen versies