|
[[Bestand:Railroad-Tracks-Perspective.jpg|thumb|right|[[Evenwijdig|Parallel]]le [[lijn (meetkunde)|lijn]]en snijden elkaar in het [[verdwijnpunt]] op [[oneindig]].]]
In de [[wiskunde]] is een '''projectief vlak''' een meetkundige [[wiskundige structuur|structuur]] die het begrip [[vlak (meetkunde)|vlak]] uitbreidt. In het gewone [[Euclidische meetkunde|Euclidischeeuclidische vlak]] [[snijpunt|snijden]] twee [[lijn (meetkunde)|lijn]]en elkaar gewoonlijk in één bepaald [[punt (wiskunde)|punt]], maar zijn er enkeleook paren van lijnen (namelijk [[evenwijdig|parallelle]] lijnen) die elkaar niet snijden. Een projectief vlak kan worden beschouwd als een gewoon vlak dat is uitgerust met extra "[[punt op oneindig|punten op oneindig]]", waar parallelle lijnen elkaar snijden. ''Elke''Ieder tweetweetal lijnen in een projectief vlak snijden elkaar dus in één en slechtsprecies één punt.
De basis voor dit wiskundige onderwerp werd in de [[Renaissance]] gelegd door [[kunstenaar]]s, die zich bezighielden met de ontwikkeling van technieken om in [[Perspectief (schilderkunst)|perspectief]] te kunnen tekenen.
Het archetypische voorbeeld is het [[reëel projectief vlak|reële projectieve vlak]], dat ook wel bekendstaat als het '''uitgebreide Euclidischeeuclidische vlak'''. Het [[reëel projectief vlak|reële projectieve vlak]] is, steeds in iets andere gedaanten, belangrijk in de [[algebraïsche meetkunde]], de [[topologie]] en de [[projectieve meetkunde]]. In deze deelgebieden van de wiskunde wordt een projectief vlak aangeduid met PG(2,'''R'''), '''RP'''<sup>2</sup> of ''P''<sub>2</sub>('''R'''). Er bestaan vele andere projectieve vlakken, zowel [[oneindig]]e, zoals het [[complex projectief vlak|complexe projectieve vlak]] en eindige, zoals het [[Fano-vlak]].
Een projectief vlak is een 2-dimensionale [[projectieve ruimte]], maar niet alle projectieve vlakken kunnen worden [[inbedding|ingebed]] in 3-dimensionale projectieve ruimten. De inbeddingseigenschap is een gevolg van een resultaat dat bekendstaat als de [[stelling van Desargues]].
==Definitie==
Een '''projectief vlak''' bestaat uit een [[verzameling (wiskunde)|verzameling]] '''lijnen''', een verzameling '''punten''' en een relatie tussen deze punten en lijnen die '''incidentie''' wordt genoemd, met de volgende eigenschappen:<ref>In een meer formele versie van de definitie wordt erop gewezen dat de termen ''punt, lijn'' en ''incidentie'' primitieve notiesbegrippen (ongedefinieerde termen) zijn. Dit formele standpunt is nodig om het concept van [[dualiteit (projectieve meetkunde)|dualiteit]] te begrijpen, wanneer dit op projectieve vlakken wordt toegepas.</ref>
<div id="axioma's-van-projectieve-vlakken">
# Gegeven enig paar van twee verschillende punten bestaat er precies één lijn die incident is met beide punten.
</div>
De tweede voorwaarde houdt in dat er geen [[evenwijdig|parallelle lijnen]] zijn. De laatste voorwaarde issliut exclusief de zogenaamde '''''ontaarde''''' gevallen uit. De term "incidentie" wordt gebruikt om de symmetrische aard van de relatie tussen punten en lijnen te benadrukken. Men gebruikt de uitdrukking "punt ''P'' is incident met lijn ''l'' " in plaats van ofwel "''P'' isligt op ''l''" ofofwel "''l'' passeert door ''P'' " .
===Verschillend per deelgebied===
De definitie van ''projectief vlak''' kent meerdere definities; deze verschiltdie per deelgebied van de wiskunde verschillen. In de [[lineaire algebra]] definieert men een projectief vlak bijvoorbeeld zodanig dat het snelgemakkelijk [[vlak (meetkunde)|vlak]]ken produceert, die tevens [[homogene ruimte]]n voor enkele van de [[klassieke groep]]en zijn, dit met inbegrip van het [[reëel projectief vlak|reëel projectieve vlak]] <math>\mathbb{P}^2</math>.
In de [[axiomatische meetkunde|axiomatische-]] en [[eindige meetkunde]] gebruikt men een projectief vlak voor een uitputtende studie van de enkelvoudige [[incidentieIncidentie (meetkunde)|incidentie]]-eigenschappen van de [[Euclidischeeuclidische meetkunde]].
==Zie ook==
| 