Wikipedia

Binomium van Newton: verschil tussen versies

Interactief door geschiedenis bladeren
← Oudere bewerkingNieuwere bewerking →
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
VisueelWikitekst
Madyno (overleg | bijdragen)
34.753 bewerkingen
Madyno (overleg | bijdragen)
34.753 bewerkingen
Regel 19:
 
== Algemene formule ==
 
[[Isaac Newton]] generaliseerde de formule voor andere exponenten, door het beschouwen van de [[reeks (wiskunde)|reeks]]:
 
:<math>{(1+x+y)^rz=\sum_{k=0}^\infty {rz \choose k} x^{r-k} y^k\quad\quad\quad(2)}</math>
 
waarin ''r''<math>z</math> een willekeurig complex getal kan zijn (dus ook elk reëel getal; niet noodzakelijkerwijs [[positief getal|positief]] of [[geheel getal|geheel]]),. en waarbij deDe coëfficiënten gelijkzijn zijngedefinieerd aandoor:
 
:<math>{rz \choose k}=\frac{rz(rz-1)(rz-2)\cdotsldots(rz-k+1)}{k!}</math>,
 
met de afspraak dat
 
:<math>{rz \choose 0}= 1</math>.
 
De somconvergentiestraal invan (2)de reeks is convergeert1, end.w.z. dat de vergelijkingreeks geldt,convergeert wanneer devoor reële of complexe getallen <math>x</math> en <math>y</math> "dicht bij elkaar" liggen, in de zin datmet <math>|x|<|y|1</math>.
 
FormuleDe (2)formule geldtis ook voorgeldig elk paar waarden ''x'' en ''y'' in een [[Banach-algebra]] mits: ''xy'' = ''yx'', ''y'' inverteerbaar en |<math>\|''x/y''\|| < 1</math>.
 
Het belangrijkste verschil tussen het gebruik van natuurlijke machten en complexe machten is dat bij het ontwikkelen van de reeks bij natuurlijke macht ''n'' de binomiaal coëfficiënten ''0'' worden na ''n+1'' termen. Daarom wordt bij formule (1) slechts de eerste ''n+1'' termen genomen. Illustratie van dit fenomeen:
Regel 43 ⟶ 42:
 
In het Engels wordt Newton's naam overigens slechts verbonden aan de algemene formule (2) ([https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_theorem#Newton.27s_generalised_binomial_theorem Newton's generalised binomial theorem]). Formule (1) heet simpelweg [https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_theorem binomial theorem] (vrij vertaald: binomiaalstelling).
 
Voor twee complexe getallen <math>x</math> en <math>y</math> met <math>|x|<|y|</math> geldt:
:<math>(x+y)^z=y^z\left(1+\frac xy\right)^z=y^z\sum_{k=0}^\infty {z \choose k} \left(\frac xy\right)^k=\sum_{k=0}^\infty {z \choose k} x^ky^{z-k}</math>
 
== Zie ook ==
Overgenomen van "https://nl.wikipedia.org/wiki/Binomium_van_Newton"