Cauchyrij: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
k link, accolade zichtbaar |
rij geen verrzameling |
||
Regel 17:
De rij is echter geen Cauchyrij, aangezien <math>|x_{n+m}-x_n|=\sum_{k=n+1}^{n+m} \frac 1k \ge \frac m{n+m}</math> dus hoe groot <math>n</math> bij een gegeven <math>\varepsilon<1</math> ook gekozen wordt, er is altijd een <math>m</math> te vinden waarvoor <math>\frac m{n+m}>\varepsilon </math>.
Voor de elementen <math>x_n</math> van de rij geldt dat deze voor voldoend grote <math>n</math> groter worden dan elk willekeurig getal ''L''. De [[limiet]] van de rij <math>
Het begrip Cauchyrij speelt een rol in de definitie van een ''volledige'' metrische ruimte. Een metrische ruimte ''V'' wordt ''[[volledig (topologie)|volledig]]'' genoemd als elke Cauchyrij die binnen die verzameling definieerbaar is, [[convergentie (wiskunde)|convergeert]] (naar een limietwaarde die dus ook binnen die verzameling moet liggen). Het bekendste voorbeeld hiervan zijn de reële getallen; de verzameling <math>\mathbb{R}</math> van de reële getallen is gedefinieerd als de kleinste volledige metrische ruimte die de verzameling <math>\mathbb{Q}</math> van de [[rationaal getal|rationale getallen]] bevat. In <math>\mathbb{R}</math> is elke Cauchyrij dus convergent.
| |||