|
===Benaderen van de wortel===
Als we toch een benadering van de wortel willen vinden gebruiken we meestal de rekenmachine. Het trekken van een vierkantswortel is echter een iteratief proces dat relatief eenvoudig handmatig uit te voeren is. Zie ook [[vierkantswortel]] voor een kortere formulering van dezelfde [[algoritme]] als hieronder.
Het principe van de berekening kan het best worden geïllustreerd aan de hand van een voorbeeld:. We berekenen
√523
Stel dat we <math>\sqrt{123}=\sqrt{3\cdot41}</math> willen berekenen:
# We splitsenverdelen het getal eerst op523 in groepjes van twee cijfers te beginnen bij de komma:
123 = 1 √5 23, 00 00 enz.
# We zoeken nu het grootst mogelijke kwadraat dat in het eerste groepje van twee cijfers past: <math>1^2=1</math> past in 1. De 1 van <math>1^2</math> is het eerste cijfer van de uitkomst. Met het verschil tussen beide getallen rekenen we verder. <math>1-1^2=0</math>.
We zoeken vervolgens het grootst mogelijke kwadraat dat in het eerste groepje van twee cijfers past:
# We halen nu de volgende twee cijfers aan: 23. We eisen nu dat <math>23\geq((2\times1)\times10+\bigstar)\times\bigstar</math> voor <math>\bigstar</math> een cijfer van 0 t/m 9. Hierbij komt de factor <math>2\times1</math> voort uit de verdubbeling van het gevonden kwadraat uit stap 2; in wezen zoeken we het tweede cijfer van een getal van twee cijfers waarvan het eerste het dubbele is van het eerstgevonden cijfer; we nemen ons nieuwe cijfer zo groot mogelijk. We concluderen dat <math>\bigstar=1</math>, zodat <math>23\geq21\times1</math>: <math>\bigstar=1</math> is nu het volgende cijfer van onze uitkomst. Met het verschil tussen beide getallen rekenen we verder: <math>23-21=2</math>.<br />Vanaf hier kan stap 3 net zo lang herhaald worden tot de gewenste precisie is bereikt; hierbij wordt steeds het getal gevormd door de reeds gevonden cijfers verdubbeld en aangevuld met een nieuw cijfer. Voor nu zullen we nog even verder gaan met de berekening om het principe te illustreren.
√5 23,00 00 =
# We halen nu de volgende twee cijfers aan: 00. Omdat we de komma zijn gepasseerd moet er ook een komma in het antwoord geplaatst worden. We eisen nu dat <math>200\geq((2\times11)\times10+\bigstar)\times\bigstar=22\bigstar\times\bigstar</math> voor <math>\bigstar</math> een cijfer van 0 t/m 9. We concluderen dat <math>\bigstar=0</math>, zodat <math>200\geq220\times0</math>: <math>\bigstar=0</math> is nu het volgende cijfer van onze uitkomst. Met het verschil tussen beide getallen rekenen we verder: <math>200-0=200</math>.
?×?=
# We halen nu de volgende twee cijfers aan: 00. We eisen nu dat <math>20000\geq((2\times110)\times10+\bigstar)\times\bigstar=220\bigstar\times\bigstar</math> voor <math>\bigstar</math> een cijfer van 0 t/m 9. We concluderen dat <math>\bigstar=9</math>, zodat <math>20000\geq2209\times9</math>: <math>\bigstar=9</math> is nu het volgende cijfer van onze uitkomst. Met het verschil tussen beide getallen rekenen we verder: <math>20000-19881=119</math>.
Het gezochte getal is 2:
# We halen nu de volgende twee cijfers aan: 00. We eisen nu dat <math>11900\geq((2\times1109)\times10+\bigstar)\times\bigstar=2218\bigstar\times\bigstar</math> voor <math>\bigstar</math> een cijfer van 0 t/m 9. We concluderen dat <math>\bigstar=0</math>, zodat <math>11900\geq22180\times0</math>: <math>\bigstar=0</math> is nu het volgende cijfer van onze uitkomst. Met het verschil tussen beide getallen rekenen we verder: <math>11900-0=11900</math>.
√5 23,00 00 = 2
# We halen nu de volgende twee cijfers aan: 00. We eisen nu dat <math>1190000\geq((2\times11090)\times10+\bigstar)\times\bigstar=22180\bigstar\times\bigstar</math> voor <math>\bigstar</math> een cijfer van 0 t/m 9. We concluderen dat <math>\bigstar=5</math>, zodat <math>1190000\geq221805\times5</math>: <math>\bigstar=5</math> is nu het volgende cijfer van onze uitkomst. Met het verschil tussen beide getallen rekenen we verder: <math>1190000-1109025=80975</math>.
2×2=4
# We halen nu de volgende twee cijfers aan: 00. We eisen nu dat <math>8097500\geq((2\times110905)\times10+\bigstar)\times\bigstar=221810\bigstar\times\bigstar</math> voor <math>\bigstar</math> een cijfer van 0 t/m 9. We concluderen dat <math>\bigstar=3</math>, zodat <math>8097500\geq2218103\times3</math>: <math>\bigstar=3</math> is nu het volgende cijfer van onze uitkomst. Met het verschil tussen beide getallen rekenen we verder: <math>8097500-6654309=1443191</math>.<br /><br />Na deze stappen liggen de eerste 4 decimalen van het antwoord vast. De laatste decimaal (3) kan namelijk door afronding alsnog een 2 of een 4 worden (gezien de relatief grote rest valt te verwachten dat afronding alsnog een 4 oplevert). Ons antwoord is nu dat <math>\sqrt{123}\approx11,09053\cdots\approx11,0905</math>.<br /><br />Met enige training kan dit proces relatief snel met de hand worden uitgevoerd, ware het niet dat een eenvoudige rekenmachine al snel veel betere prestaties levert.
—
1
Met het verschil tussen dit kwadraat en het groepje rekenen we verder. We halen nu de volgende twee cijfers erbij:
√5 43,00 00 = 2
2×2=4
—
1 23
We zoeken vervolgens het grootst mogelijke getal y zodat (2×20+y)y ≤ 123. Het getal 20 komt van het in de vorige stap gevonden cijfer 2.
√5 43,00 00 = 2
2×2=4
—
1 43
4?×?=
Hier past het cijfer 3. We bepalen ook weer de rest en halen het volgende groepje erbij.
√5 23,00 00 = 23
2×2=4
—
1 43
43×3=1 29
————
14 00
Zo gaan we verder: We zoeken weer het grootst mogelijke getal y zodat (2×230+x)x ≤ 1400. Het getal 230 komt van de in de vorige stappen gevonden cijfers 23.
√5 23,00 00 = 23
2×2=4
—
1 43
43×3=1 29
————
14 00
46?×?=
Hier past het cijfer 3. We bepalen ook weer de rest en halen het volgende groepje erbij. We zoeken het grootst mogelijke getal y zodat (2×2330+x)x ≤ 1400. Het getal 2330 komt van de in de vorige stappen gevonden cijfers 233.
√5 23,00 00 = 23,3
2×2=4
—
1 43
43×3=1 29
————
14 00
463×3=13 89
—————
11 00
466?×?=
Zo gaan we door:
√5 23,00 00 = 23,3023
2×2=4
—
1 43
43×3=1 29
————
14 00
463×3=13 89
—————
11 00
4660×0= 0
—————
11 00 00
46602×2= 9 32 04
————————
1 67 94 00
466043×3= 1 39 81 29
We hebben nu 4 cijfers achter de komma gevonden: √523 = 23,3023...
==Externe links==
| 