|
EenIn de [[groepentheorie]] is een '''Cayley-tabel''' is een eenvoudigevierkante [[wiskunde|wiskundige]]tabel [[Algebraïschewaarin de structuur|structuur]], waarin jevan een [[Eindigheid|eindigeindige]] aantalgroep wordt weergegeven door de resultaten van de [[ElementOperatie (wiskunde)|elementbewerkingen]]en mettussen eende [[OperatieElement (wiskunde)|operatieelement]]en *te kan gaan voorstellentonen. ZijCayley-tabellen zijn genoemd naar de [[Verenigd Koninkrijk|Engelse]] [[wiskunde|wiskundige]] [[Arthur Cayley]]. Een Cayley-tabel is een [[Latijns vierkant]].
Uit de Cayley-tabel van een groep laten zich gemakkelijk allerlei eigenschappen van de groep afleiden, zoals of het een [[Abelse groep]] is en welke het [[inverse]] is van een element.
Een Cayley-tabel wordt als volgt algemeen voorgesteld voor de [[Verzameling (wiskunde)|verzameling]] <math>\, \{a,b,c,...,n\},*</math>
<center>
Heel algemeen wordt voor de groep met elementen ''a,b,c,...,n'' en bewerking *, de Cayley-tabel voorgesteld door:
{| class="wikitable"
| <math>*\mathfrak{}</math> || <math>a\mathfrak{}</math> || <math>b\mathfrak{}</math> || <math>c\mathfrak{}</math> || <math>\cdots</math> || <math> n \mathfrak{}</math> ▼:{|class="wikitable" style="text-align:center;"
▲| <math> *\ mathfrak{}!\,*</math> || <math> \!\,a \mathfrak{}</math> || <math> b\ mathfrak{}!\,b</math> || <math> c\ mathfrak{}!\,c</math> || <math> \!\,\cdots</math> || <math> \!\, n \mathfrak{}</math>
|-
| <math>a\mathfrak{}!\,a</math> || <math>\!\,a*a\mathfrak{}</math> || <math>\!\,a*b\mathfrak{}</math> || <math>\!\,a*c\mathfrak{}</math> || <math>\!\,\cdots</math> || <math>\!\,a*n\mathfrak{}</math>
|-
| <math>b\mathfrak{}!\,b</math> || <math>\!\,b*a\mathfrak{}</math> || <math>\!\,b*b\mathfrak{}</math> || <math>\!\,b*c\mathfrak{}</math> || <math>\!\,\cdots</math> || <math>\!\,b*n\mathfrak{}</math>
|-
| <math>c\mathfrak{}!\,c</math> || <math>\!\,c*a\mathfrak{}</math> || <math>\!\,c*b\mathfrak{}</math> || <math>\!\,c*c\mathfrak{}</math> || <math>\!\,\cdots</math> || <math>\!\,c *n\mathfrak{}</math>
|-
| <math>\!\,\vdots</math> || <math>\!\,\vdots</math> || <math>\!\,\vdots</math> || <math>\!\,\vdots</math> || <math>\!\,\ddots</math> || <math>\!\,\vdots</math>
|-
|<math>\!\,n\mathfrak{}</math> || <math>\!\,n*a\mathfrak{}</math> || <math>\!\,n*b\mathfrak{}</math> || <math>\!\,n*c\mathfrak{}</math> || <math>\!\,\cdots</math> || <math>\!\,n *n\mathfrak{}</math>
|}
</center>
Aan de hand van deze tabel kunnen de voornaamste eigenschappen van een groep achterhaald worden.
*Betreft het een [[binaire operatie|inwendig en overal gedefinieerde bewerking]]?
*Wat is het [[neutraal element|neutrale]] element?
*WelkeWat zijnis de [[invers element|inverse elementen]] van een element?
*GeldtIs de groep [[commutativiteit|commutatief]]?
Door de Cayley -tabellen van twee groepen te vergelijken, is na te bepalengaan datof zij isomorf zijn.
==Voorbeelden==
*De verzameling van <math>\, \{1–1,-1\}</math> met de bewerking [[vermenigvuldigen|vermenigvuldiging]]. "×" heeft de Cayley-tabel:
<center>
:{| class="wikitable" style="text-align:center;"
| × || –1 || 1
|+Cayley-tabel voor <math>\{1,-1\},\cdot</math>
|-
| <math>\cdot</math> || <math>\mathbf{1}</math> || <math>\mathbf{-1}</math>
|-
| –1 || 1 || –1
| <math>\mathbf{1}</math> || <math>1\mathfrak{}</math> || <math>-1\mathfrak{}</math>
|-
| 1 || –1 || 1
| <math>\mathbf{-1}</math> || <math>-1\mathfrak{}</math> || <math>1\mathfrak{}</math>
|}
</center>
:*Het betreft een [[binaire operatie|inwendig en overal gedefinieerde bewerking]], alle elementen in de tabel zijn immers ∈ <math>\{1–1,-1\}</math>.
:*Het [[neutraal element]] is hier 1, dit kan afgeleid worden door in de tabel een rij en kolom te zoeken die overeenstemt met de verzameling en zijn overeenkomstige waarde te nemen, in dit voorbeeld zoeken we dus <math>1,-1</math> in de tabel, wat we terug vinden in de 2ste rij en de 2ste kolom. De overeenkomstige waarde van de 2de rij is 1, wat ook de overeenkomstige waarde van de 2de kolom is. Het neutraal element is dus 1.
*Het neutrale element is (logischerwijze) 1, dit ziet men in de tabel door een rij of kolom te zoeken die gelijk is aan de marge.
:*De [[invers element|inverse elementen]]van zijn1 voor 1,is 1 en voorvan -1–1, -1–1. Dit kan worden gevonden door in de tabel te kijken welke elementen samen het neutrale element vormenopleveren.
:*[[Commutativiteit]]De geldt,groep is commutativitief: de tabel is immers symmetrisch ten opzichte van de hoofddiagonaal.
*De verzameling van <math>\, \{1, 2, 3\}</math> met de bewerking [[optelling]].
<center>
De groep {0, 1, 2} met als bewerking + modulo 3 heeft als Cayley-tabel
{| class="wikitable"
|+Cayley-tabel voor <math>\{1, 2, 3\},+\mathfrak{}</math>
:{|class="wikitable" style="text-align:center;"
|-
| + || 0 || 1 || 2
| <math>+ \mathfrak{}</math> || <math>\mathbf{1}</math> || <math>\mathbf{2}</math> ||<math>\mathbf{3}</math>
|-
| 0 || 0 || 1 || 2
| <math>\mathbf{1}</math> || <math>2\mathfrak{}</math> || <math>3\mathfrak{}</math> ||<math>4\mathfrak{}</math>
|-
| 1 || 1 || 2 || 0
| <math>\mathbf{2}</math> || <math>3\mathfrak{}</math> || <math>4\mathfrak{}</math> ||<math>5\mathfrak{}</math>
|-
| 2 || 2 || 0 || 1
| <math>\mathbf{3}</math> || <math>4\mathfrak{}</math> || <math>5\mathfrak{}</math> ||<math>6\mathfrak{}</math>
|}
*De groep is commutatief, 0 is het neutrale element en 1 en 2 zijn elkaars tegengestelde (inverse).
</center>
:*Het betreft géén [[binaire operatie|inwendig en overal gedefinieerde bewerking]], 4, 5 en 6 zijn immers <math>\notin \{1, 2, 3\}</math>
[[Categorie:Groepentheorie]]
| 