Regel van Cramer

De regel van Cramer (naar Gabriel Cramer, 1704 - 1752) in de lineaire algebra is een formule voor de oplossingen van een stelsel lineaire vergelijkingen. Met de regel kunnen de oplossingen van een oplosbaar stelsel direct berekend worden, zonder dat de bijbehorende matrix eerst geïnverteerd wordt.

Als het oplosbare lineaire stelsel van $n$ vergelijkingen met $n$ onbekenden gegeven wordt door:

$Ax=b$,

waarin dus de $n\times n$-matrix $A$ inverteerbaar is, dan is er precies één oplossing $x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$, die gegeven wordt door:

$x=A^{-1}b$.

De oplossing kan berekend worden zonder expliciet de inverse van $A$ te bepalen met de regel van Cramer:

$x_{i}={\frac {\det(A_{i})}{\det(A)}}$

Daarin is $A_{i}$ de matrix die ontstaat door de $i$-de kolom van $A$ te vervangen door de vector $b,$ en $\det$ staat voor determinant.

Concreet gebruik

De regel van Cramer is alleen te gebruiken voor oplosbare stelsels, dus stelsels met precies evenveel vergelijkingen als onbekenden en met de determinant van het stelsel ongelijk aan nul. In dat geval is er een unieke oplossing. Praktisch is de regel van Cramer alleen geschikt voor zeer kleine vierkante stelsel van hoogstens drie vergelijkingen in drie onbekenden. Als het stelsel groter is neemt het aantal benodigde bewerkingen zeer snel toe. Voor een 4×4-stelsel moeten er immers niet minder dan vijf 4×4-determinanten berekend worden. In het algemeen is het aantal bewerkingen nodig om een $n\times n$-stelsel op te lossen met de regel van Cramer evenredig met $(n+1)!.$ Andere methoden, zoals Gauss-eliminatie of Gauss-Jordaneliminatie zijn dan veel sneller en kunnen ook toegepast worden op stelsels die niet vierkant zijn; de oplossing hoeft in dat geval niet uniek te zijn. Bij deze methoden is het aantal bewerkingen evenredig met $n^{3}$. Om zeer grote stelsels op te lossen, met tientallen of honderden vergelijkingen en onbekenden, worden aangepaste methoden gebruikt uit de numerieke analyse.

Met de regel van Cramer kan een enkel kental (een enkele component) van de oplossing worden bepaald zonder de andere kentallen te bepalen; in het geval van het 4×4-stelsel hierboven kan dan worden volstaan met het berekenen van twee 4×4-determinanten. Ofschoon dat voor grote stelsels nog altijd ondoenlijk is wordt hiermee wel tegemoet gekomen aan de behoefte componenten van de oplossing van een stelsel te bepalen ingeval de coëfficiëntenmatrix een parameter bevat, zoals de $s$ in het geval van een laplacetransformatie.

Voorbeelden

We berekenen de oplossing van de vergelijkingen:

$3x_{1}+2x_{2}=7$

$2x_{1}+3x_{2}=8$

In matrixvorm:

$Ax=b$,

met

$A={\begin{bmatrix}3&2\\2&3\end{bmatrix}}$

en

$b={\begin{bmatrix}7\\8\end{bmatrix}}$.

Deze matrix is inverteerbaar omdat de determinant verschillend is van 0:

${\begin{vmatrix}3&2\\2&3\\\end{vmatrix}}=3\times 3-2\times 2=5$

Dan is:

$x_{1}={\frac {\begin{vmatrix}7&2\\8&3\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}3&2\\2&3\end{vmatrix}}}={\frac {7\times 3-2\times 8}{3\times 3-2\times 2}}={\frac {5}{5}}=1$

en

$x_{2}={\frac {\begin{vmatrix}3&7\\2&8\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}3&2\\2&3\end{vmatrix}}}={\frac {3\times 8-2\times 7}{3\times 3-2\times 2}}={\frac {10}{5}}=2$.

Door invullen is eenvoudig de juistheid van de oplossing te controleren.

Interessanter wordt het met meer vergelijkingen:

$3x_{1}+2x_{2}+2x_{3}=7$

$2x_{1}+2x_{2}+3x_{3}=7$

$6x_{1}+3x_{2}-2x_{3}=7$

In matrixvorm:

$Ax=b$,

met

$A={\begin{bmatrix}3&2&2\\2&2&3\\6&3&-2\end{bmatrix}}$

en

$b={\begin{bmatrix}7\\7\\7\end{bmatrix}}$

$\det(A)={\begin{vmatrix}3&2&2\\2&2&3\\6&3&-2\end{vmatrix}}=-12+36+12-24+8-27=-7$,

zodat:

$x_{1}=-{\frac {1}{7}}{\begin{vmatrix}7&2&2\\7&2&3\\7&3&-2\end{vmatrix}}=-{\frac {1}{7}}(-28+42+42-28+28-63)=1$

$x_{2}=-{\frac {1}{7}}{\begin{vmatrix}3&7&2\\2&7&3\\6&7&-2\end{vmatrix}}=-{\frac {1}{7}}(-42+126+28-84+28-63)=1$

en

$x_{3}=-{\frac {1}{7}}{\begin{vmatrix}3&2&7\\2&2&7\\6&3&7\end{vmatrix}}=-{\frac {1}{7}}(42+84+42-84-28-63)=1$