Probleem van Napoleon

Het probleem van Napoleon is een vraagstuk uit de Euclidische meetkunde. Gevraagd wordt, een cirkel(omtrek) in kwarten te verdelen door alleen maar gebruik te maken van een passer.

Constructie van de oplossing van het probleem van Napoleon

Achtergrond

Volgens een anekdote van N.A. Court zou generaal Napoleon Bonaparte in december 1797 hebben deelgenomen aan een bijeenkomst van schrijvers en geleerden. Hij onderhield Lagrange en Laplace met de oplossing van enkele problemen uit de elementaire meetkunde waar geen van deze twee beroemde wiskundigen van op de hoogte waren. Napoleon was niet de auteur van de oplossing, maar had tijdens zijn campagne in Noord-Italië de dichter en meetkundige Lorenzo Mascheroni ontmoet. Diens bekendste wiskundige werk is de Geometria del compasso (Meetkunde van de passer), gepubliceerd in 1797. Daarin herontdekt hij een stelling die Georg Mohr ruim honderd jaar daarvoor had gepubliceerd, en die nu bekendstaat als de Stelling van Mohr-Mascheroni, namelijk, dat ieder punt dat met passer en liniaal kan geconstrueerd worden, ook kan geconstrueerd worden zonder de liniaal te gebruiken.

Constructie

Zij C de gegeven cirkel met middelpunt O. Kies een willekeurig punt X op de omtrek en teken een cirkel met dezelfde straal en met middelpunt X; noem V en Y de twee snijpunten van de nieuwe cirkel met de oorspronkelijke.

Teken nog eens een cirkel met dezelfde straal, ditmaal met middelpunt Y. Deze snijdt de oorspronkelijke cirkel in X en in een tweede punt, dat we Z noemen. De lijnstukken OV, OX, OY, OZ, VX, XY en YZ zijn allemaal even lang als de straal van de gegeven cirkel C.

Teken nu een cirkelboog met middelpunt V doorheen Y en een boog met middelpunt Z doorheen X; noem T het snijpunt van de twee bogen. De lengte van de lijnstukken VY en XZ is ${\sqrt {3}}$ keer de straal van de gegeven cirkel C.

Plaats de passerpunt in O en stel de passer in op de afstand OT (${\sqrt {2}}$ keer de straal van de cirkel C) en teken met die passerafstand een boog met middelpunt Z die de cirkel C snijdt in twee nieuwe punten U en W. Dan is UVWZ een vierkant en de omtrek van C is verdeeld in vier gelijke bogen UV, VW, WZ en ZU.