Maximaal en minimaal element

(Doorverwezen vanaf Maximaal element)

In de ordetheorie, een deelgebied van wiskunde, heet een element van een deelverzameling van een verzameling met een preorde een maximaal element als er geen groter element is. Duaal heet een element een minimaal element als er geen kleiner element is. De begrippen maximaal en minimaal element zijn zwakker dan die van grootste en kleinste element (die ook bekendstaan als respectievelijk het maximum en het minimum); partieel geordende verzamelingen kunnen meerdere maximale en/of minimale elementen hebben.

DefinitieBewerken

Laat   een verzameling zijn met preorde  , en   een deelverzameling. Een element   van   heet maximaal element van   ten opzichte van de orde  , als voor alle   geldt:

 

Een element   heet een minimaal element van   ten opzichte van de orde  , als voor alle   geldt:

 

VoorbeeldenBewerken

Op de complexe getallen is de relatie   als   een (totale) preorde. In de deelverzameling   zijn alle getallen op de eenheidscirkel maximale elementen van  .

In een partieel geordende verzameling   met   en   en   zijn   en   wel maximale elementen (van heel  ), want er bestaan geen grotere elementen, maar het zijn geen grootste elementen, want ze zijn niet groter dan alle elementen van   (in het bijzonder geldt niet   of  ). Aan de andere kant is   in dit voorbeeld zowel een minimaal als een kleinste element.

Zie ookBewerken