Liénard-vergelijking

Een Liénard-vergelijking is, in de wiskunde, en meer specifiek, in de studie van dynamische systemen en differentiaalvergelijkingen, een bepaald type differentiaalvergelijking, genoemd naar de Franse natuurkundige Alfred-Marie Liénard (1869–1958).

Gedurende de periode waarin de elektronenbuis werd ontwikkeld, werden Liénard-vergelijkingen intensief bestudeerd, als modellen voor elektronische oscillatoren. Onder bepaalde voorwaarden geeft de stelling van Liénard de garantie dat er voor zo'n systeem een limietcyclus bestaat.

Definitie

Indien $f$ en $g$ twee continu-differentieerbare functies zijn in $\mathbb {R}$, waarbij $g$ een oneven functie is, en $f$ een even functie, dan wordt een tweede-orde gewone differentiaalvergelijking van de vorm

${\mathrm {d} ^{2}x \over \mathrm {d} t^{2}}+f(x){\mathrm {d} x \over \mathrm {d} t}+g(x)=0$

een Liénard-vergelijking genoemd. Deze vergelijking kan worden omgezet in een gelijkwaardig stelsel van twee gewone differentiaalvergelijkingen. Definieer

$F(x)=\int _{0}^{x}f(\xi )\,\mathrm {d} \xi ,\quad x_{1}=x\,\quad {\text{en}}\quad x_{2}={\mathrm {d} x \over \mathrm {d} t}+F(x)$

Dan wordt

${\begin{bmatrix}{\dot {x}}_{1}\\{\dot {x}}_{2}\end{bmatrix}}={\boldsymbol {h}}(x_{1},x_{2})={\begin{bmatrix}x_{2}-F(x_{1})\\-g(x_{1})\end{bmatrix}}$

een Liénard-systeem genoemd.

Voorbeeld

De Van der Pol-oscillator:

${\mathrm {d} ^{2}x \over \mathrm {d} t^{2}}-\mu (1-x^{2}){\mathrm {d} x \over \mathrm {d} t}+x=0$

is een Liénard-vergelijking, met

$f(x)=-\mu (1-x^{2}),\quad g(x)=x,\quad {\text{en}}\quad F(x)=-\mu (x-{\tfrac {1}{3}}x^{3})$

De stelling van Liénard

Een Liénard-systeem heeft een unieke en stabiele limietcyclus, die de oorsprong omcirkelt, indien het systeem aan de volgende additionele voorwaarden voldoet:

• $g(x)>0$ voor alle $x>0$;
• $\lim _{x\to \infty }F(x)=\lim _{x\to \infty }\int _{0}^{x}f(\xi )\;d\xi \ =\infty$ en
• $F(x)$ heeft exact een positief nulpunt met de waarde $p$, waarbij $F(x)<0$ voor $0<x<p$, terwijl $F(x)$ monotoon en positief, $F(x)>0$, is voor $x>p$.

Toepassingen

In 2008 is aangetoond dat het Liénard-systeem de werking beschrijft van een opto-elektronisch circuit dat gebruik maakt van een resonante tunneldiode om een laserdiode aan te sturen. Dit resulteert in een opto-elektronische voltage-gecontroleerde oscillator.