Een ketenvoorwaarde is een begrip uit de abstracte wiskundige verzamelingenleer. Ketenvoorwaarden werden voor het eerst geformuleerd door Emmy Noether in de theorie der commutatieve ringen.

Definitie

bewerken

Zij V een verzameling en een partiële orde op V. Het paar (V,≤) voldoet aan de stijgende ketenvoorwaarde als een (en dus beide) van de volgende twee gelijkwaardige uitspraken waar is:

  1. Iedere stijgende rij   is stationair, dat wil zeggen er bestaat een index n, zodat  
  2. Iedere niet-lege deelverzameling van V heeft een maximaal element.

De omgekeerde relatie ≥ van een partiële orde   is eveneens een partiële orde. Men zegt dat   aan de dalende ketenvoorwaarde voldoet als   aan de stijgende ketenvoorwaarde voldoet.

Elementaire voorbeelden

bewerken
  • Als   een eindige verzameling is, dan voldoet elke partiële orde aan de stijgende en de dalende ketenvoorwaarde.
  • De verzameling   der natuurlijke getallen met de gewone orde voldoet aan de dalende ketenvoorwaarde, maar niet aan de stijgende ketenvoorwaarde.
  • De verzameling   der gehele getallen met de gewone orde voldoet aan geen van beide ketenvoorwaarden.
  • Een totale ordening die aan de dalende ketenvoorwaarde voldoet, noemt men een welordening.
  • Een stijgende of dalende rij niet-lege deelverzamelingen   van een verzameling   dus waarvoor geldt dat:
 
respectievelijk dat:
 
voldoet aan de stijgende ketenvoorwaarde respectievelijk dalende ketenvoorwaarde, als de rij na een eindig aantal stappen stationair wordt, d.w.z. als vanaf zekere index   geldt dat  

Oorsprong in de ringtheorie

bewerken

De oorspronkelijke stijgende ketenvoorwaarde van Emmy Noether sloeg op de verzameling van alle idealen van een gegeven commutatieve ring met eenheidselement, met als partiële orde de relatie "is een deelverzameling van". Een ring waarvan de idealen aan een dergelijke stijgende ketenvoorwaarde voldoen, noemt men thans een Noetherse ring. Als de idealen aan de overeenkomstige dalende ketenvoorwaarde voldoen, spreekt men van een Artiniaanse ring.

Uitbreiding tot modulen

bewerken

De idealen van een commutatieve ring met eenheid   zijn gewoon de deelringen (eventueel zonder eenheidselement) van   die voor de gewone vermenigvuldiging een moduul vormen over   Men spreekt in het algemeen over een Noethers moduul als zijn deelmodulen aan de stijgende ketenvoorwaarde voldoen, en over een Artiniaans moduul als de deelmodulen aan de dalende ketenvoorwaarde voldoen.

Een merkwaardig resultaat in de commutatieve algebra is de stelling dat alle Artiniaanse ringen ook Noethers zijn. Voor algemene modulen geldt deze implicatie niet, zoals het volgende voorbeeld aantoont.

Voorbeeld

bewerken

Zij   een priemgetal. Beschouw voor elk natuurlijk getal   de abelse groep   van   (de breuken modulo hun geheel deel) die gevormd wordt door de equivalentieklassen van breuken waarvan de noemer een deler is van   Zij   de deelgroep gevormd door de equivalentieklassen van breuken waarvan de noemer een willekeurige macht is van   Dan is   de vereniging van alle   en

 

waarbij de inclusies tussen verzamelingen strikt zijn, dat wil zeggen  

De   zijn de enige echte deelgroepen van  

Abelse groepen zijn gelijkwaardig met modulen over de ring   dus   is een voorbeeld van een Artiniaans moduul dat niet Noethers is.

  • (en) M.F. Atiyah en I.G. MacDonald, "Introduction to Commutative Algebra" (Inleiding tot de commutatieve algebra), Westview Press 1969, ISBN 0-201-40751-5.