Axioma's van de kansrekening

De axioma's van de kansrekening zijn enkele door de Russische wiskundige Kolmogorov geformuleerde axioma's om een strenge onderbouwing te geven aan de kansrekening. Gedurende lange tijd werd kansrekening bedreven op grond van experimenten met een eindig aantal even waarschijnlijke uitkomsten. Op tamelijk gekunstelde wijze werden situaties die niet direct op deze wijze beschreven konden worden, zo gemodelleerd dat zij toch in dit raamwerk pasten. Meer en meer leidde dit tot onoverkomelijke moeilijkheden in de theorie. In 1933 publiceerde Kolmogorov in het Duits het leerboek Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung, uitgegeven door het Springer-Verlag in Heidelberg. Daarin doorbrak hij de impasse door een axiomatische aanpak van de kansrekening voor te stellen.

Kansruimte

Bij kansrekening is er altijd sprake van een niet-lege verzameling $\Omega$, de uitkomsten, en een collectie deelverzamelingen daarvan, ${\mathcal {F}}$, de gebeurtenissen. Op de collectie gebeurtenissen is een kans $P$ (van 'Probabilitas') gedefinieerd. De verzameling $\Omega$ kan worden gezien als de verzameling van de mogelijke uitkomsten van een kansexperiment; daarom wordt $\Omega$ de uitkomstenruimte genoemd en de elementen van $\Omega$ uitkomsten. Over het algemeen kan niet iedere deelverzameling van $\Omega$ als gebeurtenis optreden; de deelverzamelingen die wel als gebeurtenis kunnen optreden, vormen de speciale collectie ${\mathcal {F}}$. Om te garanderen dat allerlei met een of meer gebeurtenissen samenhangende deelverzamelingen van $\Omega$ ook tot de gebeurtenissen behoren, wordt geëist dat ${\mathcal {F}}$ een σ-algebra is. De kans $P$ moet voldoen aan de volgende voorwaarden, de zogenaamde axioma's van Kolmogorov:

1. Voor iedere gebeurtenis $A\in {\mathcal {F}}$ geldt: $P(A)\geq 0$ (een kans is niet negatief).
2. $P(\Omega )=1$ (de totale kans is genormeerd op een).
3. Voor een rij disjuncte gebeurtenissen $(A_{k})$, dus met $A_{i}\cap A_{j}=\emptyset$ voor $i\neq j$, geldt:

$P\left(\bigcup A_{k}\right)=\sum P(A_{k})$.

(In woorden: voor een rij (of aftelbare verzameling) gebeurtenissen die niet tegelijkertijd kunnen optreden, kan de kans dat een van deze gebeurtenissen optreedt, berekend worden als de som van de kansen op de afzonderlijke gebeurtenissen.)

Een dergelijk drietal $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ heet kansruimte en is een bijzonder geval van een maatruimte. De maat van de gehele ruimte is 1, zo'n maat wordt een kansmaat genoemd.

Voorbeelden

Voorbeeld 1

De kansruimte is $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ met $\Omega$ eindig, ${\mathcal {F}}$ de machtsverzameling van $\Omega$, en met de som van de kansen op alle singleton-gebeurtenissen (uitkomsten) gelijk aan 1.

Voorbeeld 2

Bij eenmaal gooien met een dobbelsteen is de uitkomstenruimte (verzameling mogelijke uitkomsten) Ω = {1,2,3,4,5,6}. Voor de gebeurtenissen kunnen hier alle deelverzamelingen van Ω genomen worden. De kans op een van de ogenaantallen 1 tot en met 6, dus de kans op heel Ω, is 1. De gebeurtenis "de uitkomst is even" is {2,4,6} en de gebeurtenis "de uitkomst is 1 of 5" is {1,5}. Beide gebeurtenissen zijn disjunct, dus is de kans op {1,2,4,5,6} gelijk aan de som van de kansen op elk afzonderlijk:

$P(\{1,2,4,5,6\})=P(\{2,4,6\})+P(\{1,5\})$

Bij een zuivere dobbelsteen zal de kans op elk van de gebeurtenissen {1}, {2}, ...,{6} dezelfde zijn en dus gelijk aan 1/6. Voor de hiervoor genoemde gebeurtenissen geldt dan:

$P(\{1,2,4,5,6\})={\tfrac {5}{6}}={\tfrac {3}{6}}+{\tfrac {2}{6}}=P(\{2,4,6\})+P(\{1,5\})$

Voorbeeld 3

In het geval van drie mogelijke uitkomsten 1, 2 en 3, $\Omega =\{1,2,3\}$, zijn er vijf mogelijke collecties gebeurtenissen ${\mathcal {F}}$:

1. ${\mathcal {F}}_{0}={\mathcal {P}}(\Omega )$: bevat alle singletons {1}, {2} en {3}, en dus elke deelverzameling. Alle uitkomsten kunnen onderscheiden worden;
2. ${\mathcal {F}}_{1}=\{\varnothing ,\{1\},\{2,3\},\Omega \}$, bevat het singleton {1}, maar niet {2} en {3}, zodat de uitkomsten 2 en 3 niet onderscheiden kunnen worden;
3. ${\mathcal {F}}_{2}$, analoog, bevat het singleton {2}
4. ${\mathcal {F}}_{3}$, analoog, bevat het singleton {3}
5. ${\mathcal {F}}_{4}=\{\varnothing ,\Omega \}$, bevat geen van de drie singletons,en bestaat dus alleen uit de lege verzameling en de gehele uitkomstenruimte. Het experiment maakt geen onderscheid tussen de drie uitkomsten.

In de laatste vier gevallen kan het model vereenvoudigd worden door dienovereenkomstig de uitkomstenruimte te verkleinen tot een of twee uitkomsten. Vervolgens wordt het kansmodel geheel bepaald door de kansen op de afzonderlijke uitkomsten.

Eigenschappen

Opmerking: In de verzamelingenleer is gedefinieerd:

$B\setminus A=\{x|x\in B,x\notin A\}$

Uit bovenstaande axioma's zijn de volgende eigenschappen afleidbaar:

• $P(\emptyset )=0$

immers, $\emptyset \cap \emptyset =\emptyset$; er geldt dus

$P(\emptyset )=P(\emptyset \cup \emptyset )=P(\emptyset )+P(\emptyset )$

• als $A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n}$, een eindig aantal paarsgewijs disjuncte gebeurtenissen is (elk tweetal heeft een lege doorsnede), dan geldt: $P(A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots \cup A_{n})=P(A_{1})+P(A_{2})+\ldots +P(A_{n})$

immers, $Pr(A_{1}\cup A_{2}\cup \ldots \cup A_{n})=P(A_{1}\cup A_{2}\cup \ldots \cup A_{n}\cup \emptyset \cup \emptyset \cup \ldots )$

$=P(A_{1})+P(A_{2})+\ldots +P(A_{n})$

• als $A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n}$ paarsgewijs disjuncte gebeurtenissen zijn, en $A_{1}\cup A_{2}\cup \ldots \cup A_{n}=\Omega$, dan geldt $P(A_{1})+P(A_{2})+\ldots +P(A_{n})=1$

dit volgt uit axioma 3, door de keuze $A_{k}=\emptyset$, voor k>n in combinatie met axioma 2

• als $A$ en $B$ gebeurtenissen zijn, geldt

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

want $A$ en $B\setminus A$ zijn disjunct, zodat $P(A\cup B)=P(A\cup (B\setminus A))=P(A)+P(B\setminus A)$

ook zijn $B\setminus A$ en $A\cap B$ disjunct

(immers $x\in B\setminus A\implies x\notin A$ en $x\in A\cap B\implies x\in A$)

zodat $P(B)=P(B\setminus A)+P(A\cap B)$

Zie ook

• Maattheorie
• Statistiek
• Verzamelingenleer