Impulsantwoord

Het impulsantwoord of de impulsrespons is een belangrijke karakteristiek van lineaire, tijdsinvariante systemen (zie LTC-systeem) in de wiskundige systeemtheorie en in de regeltechniek. Het impulsantwoord is gedefinieerd als het uitgangssignaal (het antwoord) van het systeem S op een aan de ingang aangelegd impulsvormig signaal, idealiter een diracdelta, $\delta (x)$.

In werkelijkheid kan men natuurlijk slechts een benadering van zo'n ingangssignaal aanleggen en daarmee een benadering van de impulsrespons verkrijgen. Ook zou in een elektronische schakeling zelfs een benadering van een delta-impuls een zeer grote spanning of stroom aan de ingang vergen. Daarom bepaalt men wel de zogeheten staprespons, de uitgangswaarde als aan de ingang de een stapfunctie is aangelegd. Dat houdt in dat op $t=0$ de ingang van 0 naar 1 wordt geschakeld.

Staprespons

Aangezien de dirac-delta de afgeleide is van de stapfunctie, is de impulsrespons de afgeleide van de staprespons. Immers, met $H$ de stapfunctie, is de staprespons:

$(H*h)(t)=\int h(s)H(t-s)\mathrm {d} s=\int _{-\infty }^{t}h(s)\mathrm {d} s$

Dus is

${\frac {\mathrm {d} (H*h)(t)}{\mathrm {d} t}}=h(t)$

Convolutie

Wordt aan de ingang van een lineair tijdsinvariant systeem S een signaal $u$ aangelegd, dan zal aan de uitgang het signaal $x=H(u)$ verschijnen, dat de convolutie is van $u$ met de impulsrespons $h$. Immers voor een dergelijk systeem kan men - enigszins slordig - schrijven:

$x(t)=H(u)(t)=H\left(\int u(s)\delta (t-s)\,\mathrm {d} s\right)=$

(vanwege de lineariteit)

$=\int u(s)H(\delta (t-s))\,\mathrm {d} s=\int u(s)h(t-s){\rm {d}}s=(u*h)(t)$

Ook voor discrete lineaire, tijdsinvariante systemen geldt een dergelijke verband. Voor de output $x$ bij ingangssignaal $u$ kunnen we schrijven:

$x[n]=H(u)[n]=H\left(\sum _{k}u[k]\delta [n-k]\right)=\sum _{k}u[k]h[n-k]=(u*h)[n]$

Voorbeeld 1

Het systeem gedefinieerd door de differentievergelijking:

$x(n)=a\cdot x(n-1)+u(n)$,

zal op de ingangimpuls, waarvoor dus $u(0)=1$ en $u(n)=0$ voor andere $n$, reageren met een uitgangssignaal:

$x(0)=1,\ x(1)=a,\ x(2)=a^{2},\ x(3)=a^{3},\ \ldots$

De impulsrespons is dus:

$h(n)=a^{n}$

Voor een willekeurig ingangssignaal $u$ is het uitgangssignaal (de oplossing van de differentievergelijking):

$x(n)=(u*h)(n)=\sum _{k=0}^{n}u(k)a^{n-k}$

Voorbeeld 2

De impulsrespons $h$ van een integrator is de stapfunctie $H$. De integrator is de integraal tot het moment $t$, dus voor de impuls:

$h(t)=\int _{-\infty }^{t}\delta (s)\,\mathrm {d} s=H(t)={\begin{cases}0&{\mbox{voor }}t<0\\\\1&{\mbox{voor }}t\geq 0\end{cases}}$

Voorbeeld 3

Eenvoudig laagdoorlaatfilter

Een eenvoudig laagdoorlaatfilter bestaat uit de serieschakeling van een weerstand $R$ en een condensator $C$. Op de ingang staat de spanning $V_{\text{in}}$ en de uitgangsspanning is de spanning $V_{\text{C}}$ over de condensator. Het systeem wordt beschreven door de lineaire eerste-ordedifferentiaalvergelijking

$\tau {\frac {\mathrm {d} V_{\text{C}}}{\mathrm {d} t}}+V_{\text{C}}=V_{\text{in}}$

Daarin is $\tau =RC$ de zogeheten RC-tijd.

Legt men op $t=0$ een constante spanning ter grootte $V_{0}$ aan de ingang, terwijl C ongeladen is, dan is:

$V_{\text{C}}(t)={\begin{cases}V_{0}\left(1-e^{-t/\tau }\right)&{\text{voor }}t\geq 0\\0&{\text{voor }}t<0\end{cases}}$

De staprepons is dus

${\begin{cases}1-e^{-t/\tau }&{\text{voor }}t\geq 0\\0&{\text{voor }}t<0\end{cases}}$

Voor de impulsrespons volgt dan voor $t\geq 0$:

$h(t)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(1-e^{-t/\tau }\right)={\frac {1}{\tau }}e^{-t/\tau }$,

dus

$h(t)={\begin{cases}{\frac {1}{\tau }}e^{-t/\tau }&{\text{voor }}t\geq 0\\0&{\text{voor }}t<0\end{cases}}$