Differentievergelijking

In de wiskunde, meer in het bijzonder de discrete wiskunde, is een differentievergelijking, ook aangeduid als recurrente betrekking of ook wel recursief voorschrift, een relatie, waarmee de elementen van een rij recursief gedefinieerd worden, dat wil zeggen elk element van de rij is een functie van de voorgaande elementen. Als we de rij aangeven met , wordt het element met index gegeven door:

.

De rij wordt dan volledig bepaald door en de functies , of als we ook een constante functie gebruiken: volledig bepaald door de functies

Speciaal geval:

De rij wordt dan volledig bepaald door en de functie .

Een differentievergelijking is het discrete analogon van een differentiaalvergelijking; een differentievergelijking legt verbanden tussen de waarden van een functie op discrete (equidistante) tijdstippen.

Lineaire differentievergelijkingenBewerken

Een speciaal geval vormen de lineaire differentievergelijkingen, waarin de functie f een lineaire functie is.

VoorbeeldBewerken

De rij van Fibonacci wordt gedefinieerd door de differentievergelijking:

 
 
  voor n = 2, 3, ...

In dit voorbeeld van een lineaire differentievergelijking hangt de waarde van de volgende term slechts af van de twee voorgaande. We zeggen dat de differentievergelijking van de tweede orde is.

AlgemeenBewerken

Een lineaire differentievergelijking van de orde k heeft de vorm:

 ,

waarin de coëfficiënten   nog van   kunnen afhangen. Zijn de coëfficiënten c niet afhankelijk van n, dan spreken we van een lineaire differentievergelijking van de orde k met constante coëfficiënten:

 .

In het geval   spreken we van de homogene vergelijking, waarvan oplossingen gevonden worden door de substitutie:

 ,

waardoor de vergelijking overgaat in:

 

of

 ,

de karakteristieke vergelijking geheten.

Als alle wortels   verschillend zijn, wordt de algemene oplossing van de homogene differentievergelijking gegeven door:

 ,

waarin de  's nog vrij te kiezen constanten zijn. Na het vinden van een speciale oplossing   van de algemene vergelijking, wordt de algemene oplossing gegeven door:

 .

Voorbeeld (vervolg)Bewerken

De differentievergelijking voor de Fibonacci-getallen is een homogene lineaire differentievergelijking van de orde 2 met constante coëfficiënten. De karakteristieke vergelijking is:

 ,

met wortels:

 ,

De algemene oplossing is dus:

 .

uit de beginvoorwaarde   volgt dat  , en uit   en het gegeven dat:

 

volgt dat

 ,

zodat de algemene oplossing is:

 .

Logistische differentievergelijkingBewerken

 
Bifurcatiediagram voor de logistische differentievergelijking

De logistische differentievergelijking

 

met parameter r in [0,4] en een beginwaarde   is een bekend voorbeeld dat Mitchell Feigenbaum bestudeerd heeft.[1]

De linkerafbeelding toont het verloop van 63 iteraties, achtereenvolgens voor toenemende waarden van r van 2 tot 4 (behalve bij sommige beginwaarden  ):

  • Tot de waarde 3 convergeert de rij naar het dekpunt  .
  • Tussen de waarden 3 en   ≈ 3.44949 oscilleert de rij tussen twee waarden zonder te convergeren, .
  • Tussen ongeveer 3.44949 en 3.54409 (een nulpunt van een polynoom van de 12e graad[2] is er een cyclus van 4 waarden.
  • Na ongeveer 3.54409 wordt het een cyclus van 8 waarden , en vervolgens steeds weer een periodeverdubbeling. De lengtes van de intervallen worden steeds gedeeld door een factor die nadert tot de constante van Feigenbaum van ongeveer 4.66920. Het verloop van de iteraties wordt daarbij steeds chaotischer.

 

Feigenbaum toonde aan dat hetzelfde gedrag en dezelfde constante voorkomen in een brede klasse van wiskundige functies vóór het begin van de chaos. Door dit universele resultaat kregen wiskundigen greep op het schijnbaar onhandelbare "willekeurig" gedrag van chaotische systemen.

Zie ookBewerken