Heegner-getal

In de algebraïsche getaltheorie, een deelgebied van de wiskunde, is een Heegner-getal een positief, kwadraatvrij geheel getal $d$, zodanig dat het imaginaire kwadratische veld $\mathbb {Q} ({\sqrt {-d}})$ een klassegetal van 1 heeft. Equivalent daarmee is dat de ring van de gehele getallen van $\mathbb {Q} ({\sqrt {-d}})$ een uniek factorisatiedomein heeft.

De bepaling van zulke getallen is een speciaal geval van het klassegetalprobleem. De Heegner-getallen liggen ten grondslag aan diverse opvallende resultaten in de getaltheorie.

Volgens de stelling van Stark-Heegner bestaan er precies negen Heegner-getallen:

1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67, 163.

Dit resultaat werd reeds vermoed door Gauss en werd in 1952 bewezen door Kurt Heegner.

Eulers priemgetal-genererende veelterm

Eulers priemgetal-genererende veelterm

$n^{2}+n+41,\,$

die (verschillende) priemgetallen geeft voor n = 0, ...,39, is gerelateerd aan het Heegner-getal 163 = 4 · 41 - 1.

Rabinowitz bewees dat

$n^{2}+n+p\,$

priemgetallen geeft voor $n=0,\dots ,p-2$ dan en slechts dan als de discriminant $1-4p$ gelijk is aan minus een Heegner-getal.

(Merk op dat $p-1$ hier $p^{2}$ oplevert en dat $p-2$ dus maximaal is.) 1, 2 en 3 zijn niet van de vereiste vorm. De Heegner-getallen die werken zijn $7,11,19,43,67,163$, wat priemgetal-genererende functies van Euler-vorm geeft voor $2,3,5,11,17,41$; deze laatste nummers worden door F. Le Lionnais geluksgetallen van Euler genoemd..

Externe links

• (en) Heegner-getal op MathWorld
• (en) Gauss zijn klassegetal probleem voor imaginaire kwadratische velden door Dorian Goldfeld: Gedetailleerde geschiedenis van het probleem.